Pregunta sobre las series de potencia

Question

$$\sum_{k=1}^{\infty}\left({-2 \over D } \right)^k \left[\frac{\Pi_{i=1}^{k}(2i-1+ \lambda) }{(2k)!}x^{2k}\right]$$ Siempre que para $k=0$ la serie es $1$ .

¿Qué función tienen este tipo de series? ¿Se trata de una serie coseno? Si la respuesta es afirmativa, ¿cuál es la respuesta final en términos de función coseno?

Answer 1

No estoy seguro de que te guste. El resultado de su suma es
-1 + Hipergeométrico1F1[(1 + lambda)/2, 1/2, -(x^2/D)].

Answer 2

Mira http://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_hypergeometric_series#The_series_1F1 .
Encontrarás la ecuación diferencial a la que corresponde.

Answer 3

@Malik. Curiosamente, cada término del nuevo sumatorio tiene una forma cerrada que es

¡(2^(2 k) (-(1/D))^k x^(1 + 2 k) Pochhammer[1 + lambda/2, k])/(1 + 2 k)!

El resultado de la nueva suma es

x (-1 + Hipergeométrico1F1[1 + lambda/2, 3/2, -(x^2/D)])

Gracias por haber aceptado mi respuesta.