¿Por qué el conjunto microcanónico tiene una distribución de probabilidad igual?

Question

Mientras estudiaba Mecánica Estadística, aprendí sobre los Conjuntos Microcanónicos, y cómo tienen una distribución de probabilidad uniforme para los microestados. Aunque entendía su razón de ser (el Principio de Indiferencia), lo que no comprendía era por qué no podía aplicarse esta misma lógica al Conjunto Canónico o al Gran Conjunto Canónico.

En otras palabras

Qué tiene de especial un Conjunto Microcanónico, en comparación con un Conjunto Canónico o Gran Canónico, que podemos aplicar el principio de indiferencia para obtener una distribución de probabilidad constante para los microestados para él (y sólo para él).

Answer 1

En el conjunto microcanónico, se seleccionan todos los estados con una energía determinada $E$ . Suponga que obtiene $N$ estados con esa energía. Porque necesitas conservar energía, sólo los estados con tal energía pueden ser visitados por el sistema.

A esto se añade el "principio de indiferencia", según el cual el sistema pasa la misma cantidad de tiempo en cada estado, y se obtiene una distribución de probabilidad $$\rho \sim 1/N$$ Hasta aquí todo bien.

En cierto modo, el universo es un conjunto microcanónico, aunque bastante grande. La energía total se conserva. Sin embargo, ¿qué ocurre si tomamos un gran conjunto microcanónico con energía $E_0$ ¿Cortamos una pequeña parte del universo, dejamos que intercambie calor (y sólo calor) a temperatura constante con el universo y vemos qué pasa? Imaginemos que el sistema que hemos considerado tiene energía $E_1$ en su interior. El resto del universo tiene energía $E_2$ . Lo único que sabemos con certeza es que $$E_1+E_2=E_0$$ en todo momento, pero como el pequeño sistema puede intercambiar energía con el exterior, puede "tomar prestada" parte de la energía o puede ceder parte de su energía, de modo que $E_1$ y $E_2$ pueden cambiar (pero sólo manteniendo $E_0$ constante).

La restricción de que la energía total se conserva ahora sólo es válida para el universo, pero el pequeño espacio que estamos considerando puede cambiar su energía por intercambios con el universo. Así que puede fluctuar.

Puede, pero ¿lo hace? En principio podría ser que el sistema pequeño fuera una especie de micro-microcanónico: se mantiene a energía constante $E_1$ para que se cumpla el principio de indiferencia. Pero en el caso de que la energía fluctúe, la indiferencia ya no puede mantenerse, ya que habrá que favorecer los estados de baja energía. De ahí la forma de la distribución de probabilidad canónica que permite estados con distinta energía.

Así que ahora te preguntas, ¿puedo cuantificar esto? Básicamente se toma el global distribución de probabilidad. Se margina teniendo en cuenta sólo el pequeño subsistema que consideraste. Haces algunos cálculos suponiendo $E_1\ll E_2$ y hallar la distribución de Boltzmann teniendo en cuenta las fluctuaciones. Probablemente lo harás en detalle en tu curso. Un razonamiento similar vale para la Grancanónica donde puedes intercambiar partículas.

Resumiendo, lo que tiene de especial el conjunto canónico es que, al poder intercambiar energía con el exterior, puede poblar estados de mayor energía de la esperada tomando prestada energía del exterior, por lo que los estados ya no son indiferentes. La temperatura te da una medida de cuanto puedes fluctuar. Cada vez que permites al sistema variar algo (con algunas restricciones) obtienes un sistema diferente que (si lo permiten las restricciones) puede fluctuar y violar la "indiferencia" (o mejor dicho, necesitas "ponderar" la indiferencia con alguna variable extra)

Answer 2

El Principio de Indiferencia puede considerarse un caso particular del Principio de máxima entropía (maxent). A partir del principio maxent, es inmediato obtener otros conjuntos, con una distribución de probabilidad no uniforme, simplemente añadiendo restricciones adicionales al conjunto.

Esbozaré la derivación en el caso de un conjunto discreto y finito de estados. La generalización a la distribución continua es bastante sencilla, aunque técnicamente menos simple.

Partamos de la entropía de la teoría de la información de una distribución de probabilidad $\{p_i\}$ ( $p_i$ es la probabilidad de que $i$ -ésimo estado y $\{p_i\}$ indica el conjunto de probabilidades de todos los estados del sistema.

Sin restricciones adicionales, el método maxent requiere minimizar la siguiente expresión para la información media (entropía de Shannon): $$ H(\{p_i\})= -\sum_i p_i \log p_i\tag{1} $$ con la obvia restricción de que $$\sum_i p_i=1\tag{2}$$ que puede aplicarse con la técnica de Multiplicadores de Lagrange .

La distribución de probabilidad correspondiente al máximo es $p_i=constant$ es decir, tenemos el mismo resultado que el Principio de indiferencia.

Si además de la normalización aseguramos que el conjunto está formado por microestados que pueden intercambiar energía con la restricción de que la energía media es fija, tenemos una restricción adicional: $$ \sum_i p_i E_i = E,\tag{3} $$ que puede incluirse con un multiplicador de Lagrange adicional. El resultado de minimizar la función $(1)$ con las dos restricciones $(2)$ y $(3)$ es la función de distribución canónica y el multiplicador de Lagrange puede escribirse como $1/k_BT$ una vez realizada la debida conexión con la termodinámica.

El conjunto Gran Canónico puede derivarse añadiendo la tercera restricción sobre el número medio de partículas.

Por lo tanto, dentro de este enfoque de los conjuntos, el conjunto microcanónico no tiene nada de especial.

Answer 3

Un conjunto canónico no es un sistema aislado: está en contacto con un baño de calor mantenido a temperatura $T$ . Puede intercambiar energía con el baño, por lo que la energía del sistema no es realmente fija, sino que puede fluctuar un poco. La energía media se rige por la temperatura del baño $T$ por supuesto. Ahora bien, el sistema puede estar en diferentes estados energéticos, ya que puede fluctuar, por lo que la cuestión es qué probabilidades debemos asignar a cada energía. Un sencillo experimento sobre un caso "extremo" en el que el sistema puede tener en principio muchas energías muy altas, pero el baño se mantiene a baja temperatura, sugiere que no debemos asignar a cada estado la misma probabilidad, sino que ésta debe depender de la energía de algún modo.

El mismo razonamiento se aplica a cualquier cantidad que no se mantenga fija. Si el sistema intercambia partículas con un depósito de partículas (por ejemplo, en las teorías cuánticas de campos, el número de partículas no es fijo, ya que el vacío puede crear pares partícula-antipartícula y, por tanto, actúa como un baño), hay que asignar probabilidades distintas a estados con números de partículas diferentes.

Un conjunto microcanónico es adecuado para el caso en el que nada fluctúa y se tiene una precisión perfecta sobre cada variable que define el microestado. Como tal, simplemente no hay variación en las energías para asignar probabilidades sobre la base de.