Me cuesta entender qué significa exactamente el término $\mathbf u\cdot \nabla\mathbf v$ para campos vectoriales $\mathbf u,\mathbf v$ sur $\mathbb{R}^n$ digamos. Sé que podemos describir esto literalmente como $$\mathbf u\cdot\nabla\mathbf v = (u^i\partial_iv^j)_j$$ pero esto no parece ser exactamente invariante de coordenadas. Mi dificultad estriba en encontrar fórmulas de cambio de variables, ya que parecen bastante complicadas.
Respuesta
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Tienes razón: puede parecer sorprendente si no te lo has encontrado antes, pero mientras que la expresión análoga para funciones escalares $$\mathbf{u} \cdot \nabla f$$ (es decir, la derivada direccional de $f$ ) está libre de coordenadas, la "derivada direccional" de un campo vectorial no lo está (una intuición es que esta derivada direccional no puede diferenciar el "giro" de $\mathbf{v}$ del giro del sistema de coordenadas).
El objeto análogo libre de coordenadas es el derivada covariante $\nabla_{\mathbf{u}}\mathbf{v}$ que, como se puede imaginar por su nombre, se transforma correctamente al cambiar las coordenadas. Definir una derivada covariante requiere algo más que una estructura diferencial; hay que especificar cómo los vectores "se trasladan sin girar" (transporte paralelo) a lo largo de curvas en el espacio. Si se tiene una métrica de Riemann, es suficiente para fijar una derivada covariante canónica (mediante la conexión Levi-Civita), y se puede calcular en coordenadas utilizando símbolos de Christoffel (véase https://en.wikipedia.org/wiki/Covariant_derivative#Coordinate_description ), con los que resulta bastante desagradable trabajar directamente.
