Integración de integrales impropias

Question

Me asignaron esta integral, un problema bastante sencillo: $$\int^3_0\frac{1}{\sqrt{3-x}}\ dx$$ Porque $f(x)$ es continua sólo en $(0,3]$ debemos tomar un límite del lado izquierdo para resolver correctamente. Haciendo esto nos da: $$\lim_{t\to 3^-}\int^t _0\frac{1}{\sqrt{3-x}}\ dx$$ Que es: $$\lim_{t\to3^-}(-2\sqrt{3-x}) |^t_0$$ Así es: $$-2\sqrt3+\lim_{t\to3^-}(-2\sqrt{3-t})$$ La segunda parte del problema se convierte en cero, dejándome con $-2\sqrt3$ como respuesta. Esto me parece genial, pero la respuesta real es $2\sqrt3$ .

¿Por qué la respuesta no es negativa? ¿Qué hice mal para que me saliera ese último negativo al final?

Answer 1

En $t$ se acerca a $3$ por la izquierda tenemos

\begin{align}\lim_{t\to 3^-}\int^t _0\frac{1}{\sqrt{3-x}}\ dx&=\lim_{t\to 3^-}\Big[-2\sqrt{3-x}\Big]_0^t\\&= \lim_{t\to 3^-}\Big(-2\sqrt{3-t}+2\sqrt{3}\Big)\\&= \lim_{t\to 3^-}\Big(-2\sqrt{3-t}\Big)+2\sqrt{3}\\&= 0+2\sqrt{3}\\&= 2\sqrt{3} \end{align}

por lo que cometió los siguientes errores

1. Debe escribir el límite como $t$ se acerca a $3$ desde la izquierda como $\lim_{t\to 3^-}$ en lugar de $\lim_{t^-\to 3}$ .
2. Después de llevar a través de los límites de la integración afirmó que

$$\lim_{t\to 3^-}\Big[-2\sqrt{3-x}\Big]_0^t=-2\sqrt{3}+\lim_{t\to 3^-}\Big(-2\sqrt{3-t}\Big)$$ que es falso. Es necesario llevar el signo menos hasta el límite inferior de integración para formar $$\lim_{t\to 3^-}\Big[-2\sqrt{3-x}\Big]_0^t=\lim_{t\to 3^-}\Big(-2\sqrt{3-t}\Big)+2\sqrt{3}$$