Demostrar que la diferencia entre los términos siguiente y anterior de la sucesión de Fibonacci y el cuadrado del término actual es $\pm 1$

Question

Dada la sucesión de Fibonacci $f_{n+1}=f_{n}+f_{n+1}$ ¿Cómo puedo demostrar que \begin{equation} f_{n+1}*f_{n-1} - f_{n}^2 = \begin{cases} 1, & n \text{ odd}\\ -1, & n \text{ even} \end{cases} \para todos n \fin{ecuación}

Answer 1

Esto es realmente fácil si observamos que

$\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0\\ \end{pmatrix}^n= \begin{pmatrix} F_{n+1} & F_n\\ F_n & F_{n-1}\\ \end{pmatrix}$

con $F_0=0,F_1=1,F_2=1\dots$

Ahora observa que el determinante de la matriz de la izquierda es $-1^n$ y el determinante de la matriz de la derecha es $F_{n+1}F_{n-1}-F_n^2$