¿Por qué la prueba de McNemar del uso de las pruebas de chi-cuadrado y no la distribución normal?

Question

Me acabo de dar cuenta de cómo la no exacta de McNemar test utiliza el test de la chi cuadrado distribución asintótica. Pero dado que el test exacto (para los dos casos de la tabla) se basa en la distribución binomial, ¿cómo es que no es común para sugerir la aproximación normal a la distribución binomial?

Gracias.

Answer 1

Un acercamiento a la respuesta intuitiva:

Tomar una mirada más cercana a la fórmula para la prueba de McNemar, dada la mesa

      pos | neg
----|-----|-----
pos |  a  |  b
----|-----|-----
neg |  c  |  d

La prueba de McNemar estadística M se calcula como:

$$ M = {(b-c)^2 \over b+c} $$

The definition of a $\chi^2$ distribution with k degrees of freedom is that it consists of the sum of squares of k independent standard normal variables. if the 4 numbers are large enough, b and c, and thus b-c and b+c can be approximated by a normal distribution. Given the formula for M, it's easily seen that with large enough values M will indeed follow approximately a $\chi^2$ de distribución con 1 grado de libertad.

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EDITAR : Como onstop razón indicada, la aproximación normal es, de hecho, completamente equivalente. Eso es más bien trivial dado el argumento utilizando la aproximación de b-c por la distribución normal.

La exacta binomio versión también es equivalente a la prueba del signo, en el sentido de que en esta versión de la distribución binomial se utiliza para comparar el b a $Binom(b+c,0.5)$. O podemos decir que bajo la hipótesis nula de que la distribución de b puede ser aproximada por $N(0.5\times(b+c),0.5^2\times(b+c)$.

O, de manera equivalente:

$$\frac{b-(\frac{b+c}{2})}{\frac{\sqrt{b+c}}{2}}\sim N(0,1)$$

which simplifies to

$$ \frac{b-c}{\sqrt{b+c}}\sim N(0,1)$$

or, when taken the square on both sides, to $M \sim \chi^2_1$.

Hence, the normal approximation is used. It is the same as the $\chi^2$ aproximación.

Answer 2

No los dos enfoques llegado a la misma cosa? La correspondiente distribución de la chi cuadrado tiene un grado de libertad por lo que es simplemente la distribución de los cuadrados de una variable aleatoria con una distribución normal estándar. Yo tendría que ir a través del álgebra para comprobar, que no tengo tiempo para hacerlo ahora, pero me sorprendería si no acabar con exactamente la misma respuesta en ambos sentidos.