Hallar el flujo del campo vectorial con el grupo de Lie (grupo ortogonal)

Question

Si $X_S (A) = AS$ define un campo vectorial suave, donde $A \in O(n)$ (matrices con $A^{-1} = A^{T}$ ) y $S$ perteneciente al espacio de matrices sesgadas (matrices con $S^{T} = -S$ ). ¿Cómo puedo calcular el flujo de $X_S$ ¿Aquí?

Utilizo la definición de flujo como aquel cuyo dominio de flujo es todo $\mathbb{R} \times O(n)$ donde el flujo es el mapa $\theta : O(n) \times \mathbb{R} \to O(n)$ tal que para todo $s,t \in \mathbb{R}$ y $A \in O(n)$ se cumple lo siguiente: $$\theta(A,0) = A \space\ \space\ \text{and} \space\ \space\ \theta(\theta(A,t),s) = \theta(A, s+t)$$ Sólo estoy familiarizado con la búsqueda de flujo mediante la resolución de una EDO (o sistema de ellas). Necesito ayuda para entender cómo funciona esto con los grupos de Lie.

Answer 1

La construcción general de los grupos de Lie que se suele utilizar es la de un subgrupo de un parámetro . Recordemos que el mapa exponencial $\exp: \mathfrak{g} \to G$ es un difeomorfismo local, y en el caso del grupo ortogonal tenemos que $\mathfrak{o}(n)$ es el espacio vectorial de matrices con simetría oblicua. Un subgrupo de un parámetro es la imagen de un homomorfismo de grupo de Lie $\gamma: \mathbb{R} \to G$ por lo que la propiedad de homomorfismo exige que $\gamma(s+t) = \gamma(s)\gamma(t)$ . En particular, para los grupos de Lie matriciales toman la forma de

$$ \theta(t) \;\; =\;\; \exp(tS) $$

donde $S\in \mathfrak{g}, \; t \in \mathbb{R}$ y el mapa exponencial matricial viene dado por

$$ \exp(Q) \;\; =\;\; \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}Q^k. $$

Para obtener el caudal a través de $A$ con vector tangente inicial $AS$ simplemente tendríamos que trasladar a la izquierda el grupo anterior a la órbita:

$$ \theta_A(t) \;\; =\;\; A\exp(tS). $$

Debe quedar claro que la imagen de $\theta_A$ no será en general un subgrupo pero tendrá las propiedades necesarias para ser un flujo. Dado que $tS$ y $rS$ conmutan entre sí, entonces sabemos por la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff que $\exp(tS)\exp(rS) = \exp((t+r)S)$ . Esto también está relacionado con las EDO, ya que es la solución única al problema de valor inicial $\theta_A(0) = A$ y $\dot{\theta}_A(0) = AS$ . Te recomiendo que le eches un vistazo a los capítulos 8, 9 y 20 de este libro .