¿Cuál es el significado geométrico de $\operatorname{d}x$, $\operatorname{d}y$ y $\frac{\operatorname{d}y}{\operatorname{d}x}$?

Question

Estoy también confundido sobre si estos son símbolos o tienen algún significado propio. PD: Sé que $\operatorname{d}y\over\operatorname{d}x$ representa geométricamente la pendiente. Pero, me he encontrado con $\operatorname{d}x\over\operatorname{d}y$ para hacer problemas más fáciles. ¿Qué significa $\operatorname{d}x\over\operatorname{d}y$?

Answer 1

Debes ser muy cuidadoso, esas son simplemente notaciones.

$\frac{d\,y(x)}{d\,x}$ es la derivada de una variable $y$ con respecto a $x$. Representa cuánto varía $y$ para pequeñas variaciones de $x$. Si dibujas la curva de $y(x)$, la derivada será la pendiente, como mencionaste.

Lo opuesto también funciona, si se puede definir $x$ como una función de $y$ (lo cual es lo mismo que invertir la función $y(x)$ - debemos considerar un subconjunto de la imagen donde sea inyectiva para hacerlo), también puedes diferenciarla: $\frac{d\,x(y)}{d\,y}$

¡Pero ten cuidado! Es solo una notación, no es la división de $dx$ y $dy$, es un límite como puedes ver aquí.

$\boxed{\frac{d\,y(x)}{d\,x} = \lim\limits_{h\rightarrow0} \frac{y(x+h)-y(x)}{h}}$

Aquí hay una discusión sobre el significado de $dx$ solo, presta atención al comentario al final: "Desde que publiqué este documento, dos personas diferentes me han enviado correos electrónicos para decirme que los Verdaderos Matemáticos no hacen esto. Jugar con dx de las formas descritas en este documento aparentemente es uno de esos trucos astutos que los físicos usan para dar dolores de cabeza a los matemáticos."

Answer 2

$dy$ representa el incremento $y$ a lo largo de la tangente. Es estrictamente proporcional a $dx$.

$\Delta y$ representa el incremento $y$ a lo largo de la curva. Depende de la forma de la curva.

$\dfrac{dy}{dx}$ es la pendiente de la tangente, es decir, la derivada. $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ lo aproxima para $\Delta x$ pequeñas.

Answer 3

Aquí $\leftarrow$ es algo que escribí al respecto.

$dx$ se piensa como un incremento infinitamente pequeño pero no nulo de $x$, al igual que $\Delta x$ es un incremento finito de $x$.

$dy$ es el correspondiente incremento infinitamente pequeño de $y$.

Así, si en algún punto en el gráfico, $y$ está cambiando 3 veces más rápido que $x$, entonces $dy=3\,dx$ en ese punto.

Esto es una heurística bastante útil aunque no sea lógicamente rigurosa. Los matemáticos se han vuelto extraordinariamente escrupulosos sobre las heurísticas que no son lógicamente rigurosas, y por eso no se ven a menudo en los libros de texto hoy en día. Mira el Calculus Made Easy de Silvanus Thompson.

Gottfried Wilhelm Leibniz introdujo esta notación en el siglo XVII.

Answer 4

Empecemos primero con $Δx$:

Si tienes dos números reales $x_0, x_1$, digamos $x_1>x_0$, puedes calcular la diferencia $x_1-x_0$. Definimos esa diferencia como $Δx$: $$Δx:=x_1-x_0$$ Con esa diferencia también podemos escribir: $$x_1 = x_0 + Δx.$$ o en palabras: Si agregamos algún cambio $Δx$ a $x_0$ obtenemos $x_0+Δx$. Eso suena trivial, pero en realidad es solo la definición de "cambio".

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Bien, ahora veamos las funciones. Al principio, sea $f$ una función muy simple -un mapeo lineal: $$f:ℝ→ℝ \qquad x↦f(x)=mx + c.$$ A veces usaré $y=f(x)$, para simplificar la notación. En esa definición $m$ es la pendiente de la función lineal, y $c$ el desplazamiento en el eje $y$, ya que $f(0)=c$.

Dado que aprendimos cómo escribir el cambio en $x$, podemos intentar escribir el cambio en $f(x)$, también. Así que tenemos: $$f(x+Δx) = m(x+Δx)+c = mx+mΔx+c.$$ Ok, eso parece ser muy aburrido.

Pero recuerda lo que dijimos arriba: Δx representa el cambio de $x_0$ a $x_0+Δx$. Entonces, si ahora dividimos el cambio en el eje $y$ $Δy$ entre el cambio en el eje $x$, deberíamos obtener algo como la "tasa de cambio" o la rapidez con la que $y$ cambia en relación con $x$. Así que hagámoslo: \begin{align*} \frac{Δy}{Δx}&=\frac{y_1-y_0}{Δx}=\frac{f(x_1) - f(x_0)}{Δx} = \frac{f(x_0+Δx) - f(x_0)}{Δx}\\ &=\frac{(mx+mΔx+c) - (mx+c)}{Δx}=\frac{mΔx}{Δx} = m. \end{align*} Es genial que obtuvimos la pendiente, como tasa de cambio. Ahora también vemos por qué es la tasa de cambio, si dividimos por $Δx$: $$Δy = mΔx$$ Así que $m$ es el factor que te dice qué tan grande es el cambio $Δ$ de $y$, si $x$ cambia por $Δx$.

Este cociente se llama cociente de diferencias o razón de las diferencias.

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Suficiente con estas aburridas funciones lineales, ahora veamos funciones arbitrarias, pero agradables: $$f:ℝ→ℝ,\qquad x↦f(x).$$

Todavía podemos ver el cociente de diferencias, ¿por qué no? $$\frac{Δy}{Δx} = \frac{y_1-y_0}{(x_0+Δx) - x_0} = \frac{f(x_0+Δx) - f(x_0)}{(x_0+Δx) - x_0}$$ Ehm, bueno, ahora estamos un poco atascados. Pero en realidad eso no es tan malo. Echemos un vistazo a esta imagen de la Wikipedia alemana. Sí, sé que está en alemán, pero creo que lo entenderás. Sekante = secante, Tangente = tangente, Funktionsgraph = gráfica, $x=x$ ...

Puedes ver las dos cruces marcando $(x_0,f(x_0))$ y $(x_0+Δx, f(x_0+Δx))$. Entonces, nuestro cociente de diferencias representa la secante de la función $f$. Genial, ¿pero qué significa eso?

He aquí un ejemplo:
Hoy hizo un clima realmente agradable, así que hice un viaje en bicicleta. A veces iba muy lento, cuando había una colina en mi camino. Pero por otro lado podía ir muy rápido.
Como tengo un teléfono inteligente, pude rastrear la distancia que recorrí, y el omnisciente Google también pudo mostrarme la gráfica de la distancia que recorrí como una función $f(x)$ en el tiempo $x$.

Empecé por la mañana a las $x_0=10:30$ y llegué a las $x_1=17:00 = x_0+6.5\text{h}$ a mi destino. Google dice que recorrí 130 km. Así que puedo calcular: $$\frac{Δy}{Δx} = \frac{130\text{km}}{6.5\text{h}} = 20 \frac{\text{km}}{\text{h}},$$ que es la velocidad de viaje promedio. Y eso es exactamente lo que representa la pendiente de la secante. Solo mira la imagen de arriba. (Bueno, debo admitir que si esa curva roja representara el viaje en bicicleta, sería un viaje muy aburrido ...)

Ahora la velocidad de viaje promedio es bueno saberla. Pero sería genial saber qué tan rápida fue mi velocidad máxima, ¿no crees? Así que ahora no estamos interesados en la velocidad promedio, sino en la velocidad en un punto / la velocidad actual. Llamémoslo $f'(x_0)$.

Bueno, no conozco la definición de $f'$ todavía. Pero si calculo la velocidad promedio entre dos puntos $x_0$ y $x_1+Δx$ con un cambio pequeño, $Δx$, ¿no suena eso como una buena aproximación para la "velocidad actual"?

Y dado que la velocidad promedio es lo único que sé cómo calcular, ¿por qué no hacer $Δx$ más pequeño, y más pequeño, y más pequeño?
Cuando observamos este proceso de hacer las cosas "más pequeñas y más pequeñas", lo llamamos un proceso de límite, donde esperamos que al final haya un valor, el límite. Si hay este límite, entonces lo utilizamos para definir la "velocidad actual": $$f'(x_0):= \lim_{Δx→0}\frac{Δy}{Δx} = \lim_{Δx→0}\frac{f(x_0+Δx)-f(x_0)}{Δx}$$

Por un momento retrocedamos y miremos la imagen de arriba. Imagina cómo se vería la secante, si hacemos $Δx$ más pequeño y más pequeño. Eventualmente golpeará a la tangente. (Aquí puedes ver una animación de ese proceso de límite, con una función diferente [$h=Δx$].)

Así que aprendimos que la secante representa la "velocidad promedio" y la tangente representa la "velocidad actual". Bastante genial, ¿no crees?

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Ahora, ¿qué hay de este $\mathrm{d}x$?

Dado que los matemáticos generalmente son muy perezosos² - creo que todos en este sitio estarán de acuerdo ;) - nos gusta inventar nuevas notaciones para escribir menos.

Así que escribimos: $$f'(x_0)=\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}\big|_{x=x_0} = \frac{\mathrm{d}f(x_0)}{\mathrm{d}x} =\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}.$$

En esa notación ocultamos que en realidad hay este proceso de límite arriba. Estos $\mathrm{dx}$ o $\mathrm{dy}$ también se llaman infinitesimales (=incrementos infinitamente pequeños). Y el tipo que inventó esta notación es Gottfried Leibniz (no confundir con la galleta). La invención de esta notación es algo realmente genial, que ayudó mucho en el cálculo moderno, después de que fue mejorada por Weierstraß.

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Bueno, casi terminamos, pero hay una parte que falta, que aún no he respondido:

Pero, me encontré con dx/dy para hacer problemas más fáciles.

Si explicas a qué te refieres con eso, editaré gustosamente mi respuesta. Simplemente no entiendo a qué te refieres. ¿Puedes dar un ejemplo de un problema que se vuelva más fácil?

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¹Agradable significa que no tienes saltos o "esquinas", como en $f(x)=|x|$, en los valores de la función. ²En realidad, los físicos son aún más perezosos cuando se trata de escribir...

Answer 5

En los términos dx y dy, la d es para delta o "cambio en". Por lo tanto, representan el cambio en y el cambio en x como una función, generalmente en términos de cada uno pero a veces en relación con otro parámetro. Por lo tanto, dy/dx como dijiste es la pendiente, o el cambio en x dividido por el cambio en y, dy/dx es simplemente la pendiente inversa.

La diferencia entre dy y ∆y o dx y ∆x es que dy es una función que puede resolverse en cualquier punto para dar el cambio en y en ese punto en relación con otra variable, mientras que ∆y es un valor numérico que representa la diferencia en y entre dos puntos.