El mapa de exponenciación de la matriz

Question

Sea $sl(n)$ denota el conjunto de todos los $n\times n$ matrices reales con traza igual a cero y sea $SL(n)$ sea el conjunto de todos los $n\times n$ matrices con determinante igual a uno. Sea $\varphi(z)$ sea una función analítica real definida en una vecindad de $z=0$ del plano complejo $\mathbb{C}$ que cumpla las condiciones $\varphi(0)=1$ y $\varphi'(0)=1$ .

(1) Si $\varphi$ asigna cualquier matriz cercana a cero en $sl(n)$ en $SL(n)$ para algunos $n\geq 3$ demuestre que $\varphi(z)=\exp(z)$ .

(2) ¿Sigue siendo cierta la conclusión de (1) en el caso $n=2$ ? Si es cierto, demuéstralo. Si no lo es, da un contraejemplo.

En (1), para cerca de cero $A$ con $tr(A)=0$ entonces $det(\varphi(A))=1$ . ¿Cómo podemos deducir que $\varphi(z)=\exp(z)$ .

Answer 1

Porque $\varphi$ es analítica, basta con demostrar que coincide con la exponencial en alguna pequeña vecindad de cero. Sea $\varepsilon>0$ tal que $\varphi$ asigna cualquier matriz traza-cero con todas las entradas menores que $\varepsilon$ es el valor absoluto de $SL(n)$ .

En particular, para cualquier $s$ con $|s|<\varepsilon$ , $$ 1=\det\varphi\left(\begin{bmatrix}s&0&0\\0&-s&0\\0&0&0\end{bmatrix}\right)=\varphi(s)\varphi(-s)\varphi(0)=\varphi(s)\varphi(-s), $$ so $\varphi(-s)=1/\varphi(s)$. Now, for any small enough $s,t$ $$ 1=\det\varphi\left(\begin{bmatrix}t&0&0\\0&s&0\\0&0&-s-t\end{bmatrix}\right)=\varphi(t)\varphi(s)\varphi(-s-t). $$ Concluimos que $\varphi(t)\varphi(s)=\varphi(t+s)$ . Ahora $$ \varphi'(s)=\lim_{h\to0}\frac{\varphi(s+h)-\varphi(s)}h=\lim_{h\to0}\frac{\varphi(s)\varphi(h)-\varphi(s)}h=\varphi(s)\,\lim_{h\to0}\frac{\varphi(h)-\varphi(0)}h=\varphi(s)\,\varphi'(0)=\varphi(s). $$ Así que $\varphi'=\varphi$ y las condiciones iniciales garantizan que $\varphi(s)=e^s$ en la vecindad de cero donde es analítica.

Para $n>3$ siempre podemos trabajar en la parte superior izquierda $3\times 3$ esquina.

Para $n=2$ la afirmación es falsa. Por ejemplo $\varphi(z)=e^{f(z)}$ donde $f(z)$ es analítica y $f(-z)=-f(z)$ (por ejemplo, $f(z)=z^3$ ). Entonces, si $A$ es $2\times 2$ y tiene traza cero, entonces sus valores propios son $\lambda,-\lambda$ para algunos $\lambda\geq0$ . Entonces $$\det\varphi(A)=\varphi(\lambda)\varphi(-\lambda)=e^{f(\lambda)}e^{f(-\lambda)}=e^{f(\lambda)+f(-\lambda)}=e^0=1.$$