¿Es posible calcular $-\log\left({\sqrt{1.8\times 10^{-5}\times 0.1}}\right)$ sin calculadora?

Question

La siguiente pregunta forma parte de un problema de química que apareció en el examen de admisión de la Universidad de Dhaka 2013-14.

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¿Qué es la $-\log\left({\sqrt{1.8\times 10^{-5}\times 0.1}}\right)$ ?

(a) 2.672

(b) 2.772

(c) 2.872

(d) 2.972

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Mi intento

$$\begin{aligned} -\log_{10}\left({\sqrt{1.8\times 10^{-5}\times 0.1}}\right) &= -\log_{10}\left({\sqrt{1.8\times 10^{-6}}}\right)\\ &\approx -\log_{10}\left({\sqrt{\left(10^{-3}\right)^2}}\right) \\ &=-\log_{10} \left(10^{-3}\right) \\ &= 3 \end{aligned}$$

Las opciones están cruelmente cerca unas de otras, así que la aproximación que he hecho no me sirve de nada. ¿Cómo puedo encontrar la respuesta correcta a mano rápidamente (ya que se trata de una oposición)?

Answer 1

Bien, $(\sqrt{1.8})^8=$ $(1.8)^4=(3.24)^2$ que está a poco más de $10$ . Así que $8\log(\sqrt{1.8})$ tiene que ser ligeramente superior a $\log_{10} 10 =1$ lo que da $\log_{10}(\sqrt{1.8})$ tiene que estar un poco por encima $1/8$ .

Entonces $$-\log_{10}(\sqrt{1.8×10^{-6}})$$ $$= \log_{10}\left(\frac{1}{\sqrt{1.8×10^{-6}}}\right)$$ $$=\log_{10}\left(\frac{10^3}{\sqrt{1.8}}\right)$$ $$\approx 3 - 1/8.$$

Entonces (c).

Answer 2

Podemos determinar fácilmente, a mano, que $1.8^2 = 3.24$ y $3.24^2 = 10.4976$ . Es decir $1.8^4 \approx 10$ Así que

$$4\log_{10}1.8 \approx 1 \; \; \to \; \; \log_{10}1.8 \approx 0.25 \tag{1}\label{eq1A}$$

Por lo tanto,

$$\begin{equation}\begin{aligned} -\log_{10}\left({\sqrt{1.8\times 10^{-6}}}\right) & = -\frac{1}{2}\left(\log_{10}1.8 - 6\right) \\ & \approx -\frac{1}{2}(-5.75) \\ & = 2.875 \end{aligned}\end{equation}\tag{2}\label{eq2A}$$

Desde $\log_{10}1.8$ es en realidad ligeramente mayor que $0.25$ la respuesta final sería un poco menos que $2.875$ . Esto deja bastante claro que la respuesta correcta es (c), es decir, $2.872$ .

Answer 3

Trabajar con números enteros $$1.8\times 10^{-5}\times 0.1= \frac 9 5 \times 10^{-6}$$ $$\sqrt{1.8\times 10^{-5}\times 0.1}=\frac{3}{ \sqrt{5}}\times 10^{-3}$$ $$\frac{3}{ \sqrt{5}}=\frac{3}{ \sqrt{4+1}}=\frac 3 2 \times \frac 1{\sqrt{1+\frac 14}}\sim\frac 3 2 \times \left(1-\frac 18\right)=\frac{21}{16}=1+\frac 5 {16}$$

$$\log_{e}\left(1+\frac 5 {16}\right)\sim\frac 5 {16}\implies \log_{10}\left(1+\frac 5 {16}\right)\sim \frac {5}{16 \times 2.30} \sim 0.135$$

Entonces $-2.865$ a mano

Editar

Una buena aproximación racional de $\log_e(10)$ es $\frac{76}{33}$ $$\log_{10}\left(1+\frac 5 {16}\right)\sim \frac {5}{16} \times \frac{33}{76}=\frac{165}{1216}\sim\frac{165}{1215}=\frac{11}{81}\times \frac{125}{125}=\frac{1375}{10125} \sim\frac{1375}{10000}=0.1375$$

Answer 4

En $\sqrt{1.8}$ no es insignificante. de hecho, es esencial para la respuesta.

La suma se aproxima a $-\log_{10} 1.35 + 3$ y las respuestas son entonces efectivamente

• $10^{0.33}\approx 10^{\frac13}>2$
• $10^{0.23}\approx 10^{\frac14}> \sqrt{3}$
• $10^{0.13}\approx 10^{\frac18}\approx \sqrt{\sqrt{3}}\approx1.3$
• $10^{0.03}\approx 10^{\frac1{30}}<1.2$

que da como respuesta (c).

Answer 5

Escritura (todos los registros son en base 10) $-\log(\sqrt{1.8}\cdot 10^{-3})=3-\log(1.8)/2$ utilizando las propiedades del logaritmo. Ahora, se ve $1.8<2<10^{1/3}$ . Además, con sólo multiplicar se obtiene $1.8^4=(1.8^2)^2=10.24$ muy cerca de $10$ . Así, $1/4 <\log(1.8) < 1/3$ tal que $3-1/8 = 2.875 >3-\log(1.8)/2 >3-1/6 > 2.82$ .

Por lo tanto, la respuesta c) es correcta.