OP tiene un punto. Por un lado, P&S en la p. 14 argumentan que en primer cuantificado RQM en el formalismo del operador el propagador es
$$\begin{align}&\langle {\bf x}_f,\tau_f \mid {\bf x}_i,\tau_i\rangle\cr &~=~ \int_{\mathbb{R}^3} \!\frac{\mathrm{d}^3{\bf p}}{(2\pi\hbar)^3} \exp\left[\frac{i}{\hbar}\left( {\bf p}\cdot \Delta {\bf x} - \Delta \tau \underbrace{\sqrt{{\bf p}^2+m^2}}_{\text{Hamiltonian}}\right)\right]. \end{align}\tag{A} $$
P&S escriben en la p. 14:
Esta integral puede evaluarse explícitamente en términos de funciones de Bessel. [...] la amplitud de propagación es pequeña pero distinta de cero fuera del cono de luz, y se viola la causalidad.
Ver también este Respuesta de Phys.SE. Sin embargo, la normalización de P&S del integrando (A) no es covariante de Lorentz, y por lo tanto no es adecuada para RQM. Un análisis covariante de Lorentz más cuidadoso del formalismo de la integral de trayectoria revela que el propagador RQM es $^1$
$$\begin{align}&\langle {\bf x}_f,\tau_f \mid {\bf x}_i,\tau_i\rangle\cr &~=~ \int_{\mathbb{R}^3} \!\frac{\mathrm{d}^3{\bf p}}{(2\pi\hbar)^3}\color{red}{ \frac{\hbar}{2\sqrt{{\bf p}^2+m^2}} }\exp\left[\frac{i}{\hbar}\left( {\bf p}\cdot \Delta {\bf x} - \Delta \tau \underbrace{\sqrt{{\bf p}^2+m^2}}_{\text{Hamiltonian}}\right)\right], \end{align}\tag{B} $$
cf. mi respuesta en Phys.SE aquí . Sorprendentemente, la cita anterior de P&S sigue siendo válida en lo esencial.
Por otro lado, P&S en la ec. (2.50) en la p. 27 encuentran exactamente el mismo propagador (B) en segundo cuantificado KG QFT . Así que OP tiene razón en que RQM aparece en el sector de una partícula de la QFT escalar libre.
P&S escriben en la p. 28:
Así que de nuevo encontramos que fuera del cono de luz, la amplitud del propagador es exponencialmente evanescente pero distinta de cero. Sin embargo, para discutir realmente la causalidad, deberíamos preguntarnos no si las partículas pueden propagarse a lo largo de intervalos similares al espacio, sino si una medida realizada en un punto puede afectar a la medida en otro punto cuya separación del primero es similar al espacio.
Y P&S luego demuestran que el conmutador $[\phi(x),\phi(y)]=0$ desaparece fuera del cono de luz, de modo que la QFT real de KG es causal.
Un problema para el RQM cuantizado en primer lugar (que OP parece conocer bien) es que no describe la creación y aniquilación de partículas per se.
También siguen siendo válidas las objeciones habituales al RQM cuantizado en primer lugar, como por ejemplo:
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Las interacciones locales se acoplan a estados de energía tanto negativos como positivos, de modo que no se pueden descartar los estados de energía negativos.
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Existen estados de energía negativa sin límites.
-
La densidad de probabilidad relativista $$ \rho ~=~\frac{i\hbar}{2mc^2}\left(\psi^{\ast} \partial_t \psi - \psi \partial_t \psi^{\ast}\right) \tag{C} $$ ¡puede ser negativo!
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Ver también este post relacionado de Phys.SE.
Referencias:
- M.E. Peskin y D.V. Schroeder, Introducción a la QFT; p. 14 + p. 27.
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$^1$ Ambos propagadores (A) y (B) satisfacen
$$ (\Box_f-m^2)\langle {\bf x}_f,\tau_f \mid {\bf x}_i,\tau_i\rangle~=~0, \qquad \Delta\tau~:=~\tau_f-\tau_i~>~0,\tag{D}$$
pero sólo los propagadores (A) satisfacen la normalización
$$\langle {\bf x}_f,\tau_f \mid {\bf x}_i,\tau_i\rangle ~\longrightarrow~\delta^3(\Delta {\bf x}) \quad \text{for} \quad \Delta\tau \to 0^+. \tag{E} $$
