En primer lugar, en relación con la óptica, el principio de Fermat es siempre una aproximación. define una aproximación, a saber, el primer término de la Aproximación WKB a la solución del cuasi-armónico Las ecuaciones de Maxwell o, en un marco más general, la ecuación de Helmholtz. Aquí el parámetro de escala WKB es la longitud de onda, que se toma como pequeña en comparación con las características del medio en cuestión. Como se explica muy bien en Respuesta de CR Drost La intuición detrás de esto es que el principio de Fermat define caminos de fase estacionaria alrededor del cual se añaden los efectos de difracción para obtener la solución completa del problema y es extremadamente aplicable sin aproximación, es decir El principio de Fermat dará, sin aproximación, el primer término de la expansión WKB pertinente en todas las situaciones que se analizan a continuación. Esto incluye todos los problemas relativistas especiales (espaciotiempo plano) y también los relativistas generales estáticos.
La cantidad extremada, o el Lagrangiano óptico, es el longitud del camino óptico expresado como diferencia de fase entre los extremos de la trayectoria del rayo: en ondas o radianes, por ejemplo. Una lectura atenta y reflexiva Respuesta de CR Drost muestra claramente este hecho. Así que probablemente no sea útil pensar en ello como el principio del menor tiempo ya que, como en Respuesta de Michael Siefert esto puede ser problemático en relatividad. Por el contrario, el campo de fase de una excitación óptica en estado estacionario en un medio es un escalar campo es decir se transforma como tal.
En Relatividad especial Si se observa el campo óptico en estado estacionario en el instante en que coinciden los orígenes de sus sistemas de coordenadas, se puede ver cómo se aplica el principio en dos sistemas de coordenadas inerciales diferentes y relativamente aumentados. Pongamos uno de los marcos en reposo con respecto al medio material en el que se establece el campo. En este marco se cumple el principio de Fermat.
El observador en movimiento relativo ve el medio en coordenadas transformadas de Lorentz. Las ecuaciones de Maxwell siguen siendo covariantes de Lorentz con el medio presente, pero las propiedades del medio y las relaciones constitutivas se transforman radicalmente. Intuitivamente se puede ver que esto es así; la contracción de Lorentz Fitzgerald cambia la densidad óptica del medio anisotrópicamente. De hecho, si tenemos un medio anisótropo simple en el marco de reposo con constantes eléctricas y magnéticas $p_e$ y $p_m$ (Se evitan los épsilons y los mus en este tipo de cálculos para evitar confusiones con los índices griegos de los tensores), el observador en movimiento relativo ve un anisótropo constante magnetoeléctrica tal que:
$$\vec{D} = p_e\,\vec{E} + c^{-1} \vec{v}\times \vec{H}$$ $$\vec{B} = p_m\,\vec{H} - c^{-1} \vec{v}\times \vec{E}$$
donde, naturalmente, $\vec{v}$ es la velocidad relativa.
El resultado de todo esto es que ambos observadores calculan el mismo campo de fase escalar a partir de su versión de las ecuaciones de Maxwell y, por tanto, la trayectoria de un rayo es una trayectoria de longitud óptica extrema en un fotograma si y sólo si es una trayectoria extrema en el otro. Así vemos que el principio de Fermat nos da los mismos rayos en ambos casos.
Una peculiaridad es que, en el medio anisótropo visto por el observador en movimiento relativo, la ley de Snell no se aplica a los rayos en las interfaces, aunque sí a los vectores de onda. Los frentes de fase no son necesariamente normales a los vectores de Poynting. Es la misma situación que en un cristal anisótropo. Pero el principio de Fermat sigue siendo válido.
En Relatividad general debemos tener un poco de cuidado. El principio óptico de Fermat se aplica a los medios invariantes en el tiempo. Por lo tanto, no puede aplicarse (al menos yo no conozco ninguna extensión) al espaciotiempo no estático -o al menos uno sin campo de Killing semejante al tiempo- con o sin medios materiales. Esto se debe a que, en primer lugar, el principio de Fermat se aplica a campos electromagnéticos armónicos en el tiempo, con pulsos y similares descritos por superposiciones de Fourier de soluciones armónicas en el tiempo;
Pero para un espaciotiempo estático y curvado, la situación es similar a la relativista especial. Diferentes observadores ven las propiedades materiales y constitutivas de un medio de forma diferente, pero de tal manera que todos ellos estarían de acuerdo en el campo de fase escalar para un determinado estado estacionario de excitación óptica del medio, y todos ellos calcularían las mismas trayectorias de rayos a partir del principio de Fermat.
De hecho, un espaciotiempo curvo vacío y sin medio tiene las relaciones constitutivas (ecuaciones constitutivas de Plebanski, véase J. Plebanski Phys. Rev. 118 (1960), p1396:
$$D^i = -\epsilon_0\,\frac{\sqrt{-g}}{g_{0 0}}\,g^{i j}\,E_j + c^{-1} \varepsilon^{ij}_{\,\,k}\,\frac{g_{0j}}{g_{00}}H^k$$ $$B^i = -\mu_0\,\frac{\sqrt{-g}}{g_{0 0}}\,g^{i j}\,H_j + c^{-1} \varepsilon^{ij}_{\,\,k}\,\frac{g_{0j}}{g_{00}}E^k$$
donde hemos sumado sobre índices espaciales $1,\,2,\,3$ (nótese los índices romanos, en lugar de griegos) y el $\varepsilon$ es el tres dimensional y espacial de Levi-Civita. Esta observación es el punto de partida del campo de la óptica transformacional La tecnología de los metamateriales: el uso de medios metamateriales para imitar la propagación en la parte espacialmente curvada del espaciotiempo curvo estático. Estas ideas son muy prometedoras para la realización de dispositivos ópticos de camuflaje, por ejemplo: los medios materiales cuyas constantes eléctricas, magnéticas y magnetoópticas coinciden con las anteriores propagan la luz, al igual que, por supuesto, el espacio curvo vacío, sin dispersión. La luz puede ser curvada alrededor de los objetos por tales medios sin dispersión y no es demasiado difícil ver que el objeto a camuflar puede ocultarse dentro de regiones no alcanzables desde un observador. Véase, por ejemplo:
Ulf Leonhardt y Thomas G. Philbin, "Óptica de transformación y geometría de la luz", Prog. Opt. 53 , pp69-152 (2009
