Una pregunta sobre el producto tensorial de espacios de Hilbert y operadores

Question

Para un espacio de Hilbert $H$ , dejemos que $\mathcal B(H)$ y $\mathcal K(H)$ denotan los espacios de operadores lineales acotados y operadores compactos sobre $H$ respectivamente.

Si $H_1$ y $H_2$ son dos espacios de Hilbert (de dimensión infinita), sea $H=H_1\otimes H_2$ sea el producto tensorial de $H_1$ y $H_2$ . ¿Cómo podría demostrar que la inclusión $\mathcal B(H_1)\otimes \mathcal B(H_2)\subset \mathcal B(H)$ ¿es apropiado?

Una cuestión similar se plantea en el caso de los operadores compactos. A saber, ¿es la inclusión $\mathcal K(H_1)\otimes \mathcal K(H_2)\subset \mathcal K(H)$ ¿Bien?

El producto tensorial de $C^{\ast}$ -el álgebra es demasiado abstracta para mí, y no tengo ni idea de las preguntas anteriores. ¿Puedes ayudarme a resolver estos problemas? Muchas gracias.

Answer 1

La inclusión $\mathcal{K}(H_1) \otimes \mathcal{K}(H_2) \subseteq \mathcal{K}(H)$ es una igualdad. Para ver esto, observe que los operadores de rango uno en $H$ como producto tensorial de operadores de rango uno en $H_1$ y operadores de rango uno en $H_2$ .

Más formalmente, utilice lo siguiente:

Si $H$ es un espacio de Hilbert, y $\theta_{x,y}(z) = \langle z,y\rangle x$ entonces el ámbito cerrado de los operadores $\{\theta_{x,y}: x,y \in H\}$ es igual a $\mathcal{K}(H)$ .

A continuación, utilice el hecho de que

$\theta_{x,y}\otimes \theta_{s,t}= \theta_{x\otimes s,y \otimes t}$ como operadores en $B(H_1\otimes H_2)$

para concluir que

$\mathcal{K}(H_1\otimes H_2)= \mathcal{K}(H_1)\otimes \mathcal{K}(H_2)$ .

La inclusión $\mathcal{B}(H_1)\otimes \mathcal{B}(H_2)\subseteq \mathcal{B}(H)$ casi nunca es una igualdad.

He aquí un ejemplo concreto que lo ilustra:

Si $H_1 = H_2 = \ell^2$ entonces $\mathcal{B}(\ell^2) \otimes \mathcal{B}(\ell^2)$ tiene más de un ideal distinto de cero, mientras que $\mathcal{B}(H)= \mathcal{B}(\ell^2\otimes \ell^2)$ sólo tiene un ideal distinto de cero, por lo que $\mathcal{B}(\ell^2)\otimes \mathcal{B}(\ell^2)\not\cong \mathcal{B}(\ell^2 \otimes \ell^2) $ . En particular, la inclusión canónica no es suryectiva.

De forma más general, se puede demostrar que esta inclusión es una igualdad si y sólo si $H_1$ y $H_2$ son de dimensión finita.