Funciones de densidad de probabilidad y funciones de distribución acumulativa: ¿intervalos abiertos o cerrados?

Question

En Estadística, la función de densidad de probabilidad, $f_X(x)$ y la función de distribución acumulativa, $F_X(x)$ de una variable aleatoria de valor real $X$ tienen los siguientes significados:

$$f_X(x)=\Pr[X=x] \space\space;\space\space F_X(x)=\Pr[X\leq x]$$

Y están relacionados por

$$f_{X}(x)=\frac{d}{d x} F_{X}(x) \space\space;\space\space F_X(x)=\int_{-\infty}^{x} f_{X}(u) du$$

Sin embargo, he encontrado en diversas fuentes diferentes criterios para incluir o no los valores de los extremos del intervalo. ¿Cuándo se considera un intervalo cerrado y cuándo un intervalo abierto? ¿Cuál de las siguientes opciones sería la correcta?

1. $F_X(x)$ es igual a $\Pr[X < x]$ o $\Pr[X\leq x]$ ?

2. $F_X(b)-F_X(a)$ es igual a $\Pr[a<X< b]$ , $\Pr[a\leq X< b]$ , $\Pr[a< X \leq b]$ o $\Pr[a \leq X \leq b]$ ?

3. $f(x)dx$ es igual a $\Pr\big[X\in(x,x+dx)\big]$ , $\Pr\big[X\in (x,x+dx]\big]$ , $\Pr\big[X\in[x,x+dx)\big]$ o $\Pr\big[X\in[x,x+dx]\big]$ ?

Answer 1

En resumen : Usted ha dicho que $f$ es una densidad, es decir, se refiere a una distribución continua, por lo que no importa si se incluyen o no los puntos finales.

Algunos más :

En primer lugar si su distribución es continua no importa ya que tomará cualquier valor discreto con probabilidad $0$ .

Sin embargo, es habitual incluir el intervalo (e importa si la distribución es discreta o mixta), es decir $F_X(x)=P(X\leq x)$ - lo que responde a su primera pregunta. De hecho, esto también responde a su segunda pregunta, ya que implica $F_X(b)-F_X(a)=P(a<X\leq b)$ .

Para su tercera pregunta ya que $f$ se escribe como una densidad no importa. Esto es similar a tomar una integral de Riemann de alguna función sobre $[a,b]$ o $(a,b)$ es lo mismo.