Definición de integral compleja Pregunta

Question

Utilizando la definición de integral compleja, me pidieron que evaluara la integral del conjugado de un número complejo $z$ denotado por $z*$ alrededor del contorno cerrado que consiste en la porción de la parábola $y = x^2$ de $(0,0)$ a $(1,1)$ seguido por el segmento de línea de $z = 1 + i$ a $z = 0$ .

Mi intento de resolver el problema consistió en esbozar primero el contorno. A continuación, integro esencialmente $1 - i$ de $0$ a $1$ que es trivialmente $1-i$ pero no estoy seguro de que sea correcto. Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Queremos evaluar la integral de contorno

$$\displaystyle I=\oint_C z^* \,dz$$

donde $C$ es el contorno cerrado formado por $(i)$ $C_1$ la trayectoria parabólica $y=x^2$ de $(0,0)$ a $(1,1)$ y $(ii)$ $C_2$ el segmento de línea comprendido entre $(1,1)$ a $(0,0)$ .

Una trayectoria parabólica, utilizamos la parametrización $x=t$ y $y=t^2$ para que $z^*=t-it^2$ y $dz=(1+i2t)\,dt$ para encontrar

$$\int_{C_1}z^*\,dz=\int_0^1 (t-it^2)\,(1+i2t)\,dt\tag1$$

Un segmento de línea desde $(1,1)$ a $(0,0)$ utilizamos la parametrización $x=t$ y $y=t$ encontrar

$$\int_{C_2}z^*\,dz=\int_1^0 (t-it)\,(1+i)\,dt \tag2$$

Se deja como ejercicio para el lector evaluar las integrales en los lados derechos de $(1)$ y $(2)$ .