Buscando un problema donde uno podría usar una cardinalidad argumento para encontrar una solución.

Question

Me gustaría encontrar un ejercicio del tipo: Encontrar algunos $x$$A\setminus B$. Solución: desde $A$ es incontable y $B$ contables tales $x$ existe...

Answer 1

• Hay una función de $f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ no computable por una máquina de Turing. (O no es un número real cuya expansión decimal no puede ser calculada.)
• Hay un no-Borel subconjunto de $\mathbb{R}$. (Cardinalidad $\mathfrak{c} = 2^{\aleph_0}$ vs cardinalidad $2^{\mathfrak{c}}$.)

Answer 2

El clásico resultado presentado por Cantor de sí mismo: Demostrar que existe un número real que no es algebraico.

Comentario: el hecho de que no algebraicas de los números de existir era conocido antes, pero Cantor presentado la prueba de la uncountability de los reales y a partir de él una muy simple existencia de la prueba utilizando exactamente lo que usted está preguntando acerca de la aplicación de esta técnica por primera vez.

Answer 3

Algunas ideas:

1. Probar que existe un número irracional.
2. Demostrar que existe una secuencia de números irracionales convergente para cualquier número real.
3. Demostrar que existe un subconjunto de los números enteros, que no es ni finito ni co-finito.
4. Demostrar que existe una función de $f\colon\Bbb{R\to R}$ que es discontinua en todas partes (reemplazar "contable" con "el tamaño de la continuidad" e incontables con "más grande que el continuo").
5. Existe un número en el conjunto de Cantor, que no es el extremo de un intervalo distinto del conjunto de Cantor (el complemento del conjunto de Cantor puede ser escrito como una contables de la unión de intervalos disjuntos, por lo que hay sólo una contables número de estaciones, que son elementos del conjunto de Cantor).
6. Existe una normal número.
7. Existe un funcional lineal en $(\Bbb R[x])^\ast$, que no es una evaluación funcional (la dimensión de la $\Bbb R[x]$ es contable, y por lo tanto la dimensión de la evaluación funcionales es contable; sino $(\Bbb R[x])^{**}$ tiene un incontable dimensión).

Answer 4

Un ejemplo que me gusta bastante es este:

Mostrar que hay puntos en el plano que no puede ser construido a partir de la unidad de segmento utilizando sólo regla y compás.

La cardinalidad base de la prueba es simple: vamos a empezar con dos puntos, en cada paso de la construcción sólo podemos añadir un número finito de puntos de nuevo y se emplean construcciones que sólo tiene un número finito de pasos. Así que el conjunto de todos los puntos construibles es contable. El conjunto de todos los puntos en el plano tiene la cardinalidad del continuo, es incontable.

Los estudiantes verán probablemente en algún curso de álgebra¹ pruebas que muestran que ciertas longitudes (como $\sqrt[3]2$ o $\cos\pi/9$ no puede ser construida). Pero esta prueba puede ser considerado simple y también funciona para otras construcciones de tipo similar. (I. e. construcciones con un número finito de pasos, donde sólo un número finito de objetos nuevos que se añaden en cada paso.)

¹ me imagino que normalmente cardinalidades aparecer en un programa de estudios antes del curso de álgebra que incluye el resultado necesario para demostrar la imposibilidad de trisecting un ángulo o duplicación de un cubo. Pero tal vez en algún lugar de estos temas se enseñan en un orden diferente.