¿Hay alguna forma de obtener todas las permutaciones de $S_4$

Question

Necesito calcular el determinante de un $4 \times 4$ matriz por "cómputo directo", así que pensé que eso significa usar la fórmula

$$\sum_{\sigma \in S_4} (-1)^{\sigma}a_{1\sigma(1)}\ldots a_{n\sigma(n)}$$

Así que primero quería escribir todas las permutaciones de $S_4$ pero sólo tengo 23 de las 24 y no se me ocurre la última. Me preguntaba si hay algún "método" que pueda utilizar para conseguirlas todas (aparte de buscarlas en Google) y asegurarme de que todas son únicas y no he hecho la misma dos veces.

Ahora mismo, tengo

$$\begin{matrix} () & (34) & (143) & (1243) \\ (12) & (123) & (234) & (3241)\\ (13) & (132) & (243) & (1324) \\ (14) & (124) & (324) & (4231) \\ (23) & (142) & (1234) & (4321) \\ (24) & (134) & (2134) \\ \end{matrix}$$

¿Cuál me falta?

Answer 1

No creo que la estructura del ciclo sea especialmente útil para Enumerando todas las permutaciones. Allí es más fácil pensar en una permutación como simplemente los números del 1 al 4 dispuestos en algún orden.

Todas estas secuencias pueden generarse sistemáticamente tomando primero las que tienen 1, luego las que tienen 2 en primer lugar, y así sucesivamente. Dentro de cada grupo, haga una división similar en el segundo lugar, y proceda recursivamente. Se obtiene:

1,2,3,4
1,2,4,3
1,3,2,4
1,3,4,2
1,4,2,3
1,4,3,2
2,1,3,4
...
2,4,3,1
3,1,2,4
...
4,3,1,2
4,3,2,1

Si utilizas esta enumeración para calcular determinantes, te darás cuenta de que si sumas los términos en el orden (términos de permutaciones con 1 en primer lugar) + (términos de permutaciones con 2 en primer lugar) + ... + (términos de permutaciones con 4 en primer lugar), ¡lo que estás haciendo es exactamente una expansión por menores!

Answer 2

En primer lugar, tienes permutaciones de repetición. Por ejemplo: $(243)=(324)$ (lo mismo con los cuatro ciclos... sólo debería haber 6). Te faltan las permutaciones de la estructura $(--)(--)$ . Por ejemplo $(12)(34)$ , $(13)(24)$ .

Answer 3

Puede enumerar todas las permutaciones de $1,2,3,4$ y luego poner cada uno de ellos en notación de ciclo. Por ejemplo aquí están todas las permutaciones de $1,2,3,4$

$[[1, 2, 3, 4], [1, 2, 4, 3], [1, 3, 2, 4], [1, 3, 4, 2], [1, 4, 2, 3], [1, 4, 3, 2], [2, 1, 3, 4], [2, 1, 4, 3], [2, 3, 1, 4], [2, 3, 4, 1], [2, 4, 1, 3], [2, 4, 3, 1], [3, 1, 2, 4], [3, 1, 4, 2], [3, 2, 1, 4], [3, 2, 4, 1], [3, 4, 1, 2], [3, 4, 2, 1], [4, 1, 2, 3], [4, 1, 3, 2], [4, 2, 1, 3], [4, 2, 3, 1], [4, 3, 1, 2], [4, 3, 2, 1]]$

Por ejemplo $[3,1,2,4]$ de arriba en notación cilíndrica es $(132)$ . Pon en una columna para que tengas para cada

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3&4 \\ 3 & 1 & 2&4\end{pmatrix} $

Para que veas $1$ va a $3$ ; $3$ va a $2$ ; $2$ va a $1$ y $4$ es fijo.

$[3,4,2,1]$ es $(1324)$ en notación cíclica como sigue

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3&4 \\ 3 & 4 & 2&1\end{pmatrix} $

$1$ va a $3$ ; $3$ va a $2$ ; $2$ va a $4$ y $4$ va a $1$

También puede ir a Sagemath suscríbase a la versión en línea si aún no lo está y ejecute

    sage: S4=SymmetricGroup(4)
    sage: S4.list()

para obtener

$[(), (3,4), (2,3), (2,3,4), (2,4,3), (2,4), (1,2), (1,2)(3,4), (1,2,3), (1,2,3,4), (1,2,4,3), (1,2,4), (1,3,2), (1,3,4,2), (1,3), (1,3,4), (1,3)(2,4), (1,3,2,4), (1,4,3,2), (1,4,2), (1,4,3), (1,4), (1,4,2,3), (1,4)(2,3)]$