Compacto $\omega$ -límite establecido $\Rightarrow$ conectado

Question

Considere el flujo $\varphi: \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ y $L_{\omega}(x)$ el $\omega$ -conjunto límite de un punto $x \in \mathbb{R}^n$ . ¿Cómo puedo demostrar que si $L_{\omega}(x)$ es compacta, ¿entonces está conectada? Creo que hay que suponer que está conectado y luego llegar a un absurdo. Alguna ayuda aquí estaría bien.

Además, ¿cómo puede un límite establecido no ser compacto o estar conectado? Todos los ejemplos (comunes) que se me ocurren son compactos y conexos. ¿Alguien puede dar un ejemplo?

Answer 1

Así que... después de pensarlo un poco más tengo una prueba.

Supongamos que $L_{\omega}(x)$ no está conectado. Entonces hay conjuntos abiertos disjuntos $A,B\in \mathbb{R}^n$ tal que $L_{\omega} \subset A \cup B$ y $A \cap L_{\omega},B\cap L_{\omega}$ no están vacías. Por lo tanto, hay secuencias $\{t_n\},\{s_n\}$ tal que $\displaystyle\lim_{n \to \infty} t_n=\lim_{n \to \infty} s_n=\infty$ , $t_n<s_n<t_{n+1}$ y $\varphi_{t_n}(x)\in A, \varphi_{s_n}(x)\in B$ para todos $n$ . Ahora $\{\varphi_t(x); t\in (t_n,s_n)\}$ es una curva que une un punto en $A$ a un punto en $B$ . Entonces hay un $r_n\in (t_n,s_n)$ tal que $\varphi_{r_n}(x) \notin A\cup B$ . Tenga en cuenta que $\displaystyle \lim_{n \to \infty}r_n=\infty$ .

Sabemos que $\{\varphi_{r_n}(x)\}\subset L_{\omega}(x)$ . Como es compacta, existe una subsecuencia de $\{\varphi_{r_n}(x)\}$ convergiendo a un punto $y \notin A \cup B$ . Pero eso significa que $y \in L_{\omega}(x)$ . Esta contradicción completa la prueba.