Sea $L/K$ sea una extensión de Galois. Sea $a$ sea un generador de base normal $ga$ . Sea $H$ sea cualquier subgrupo de G. Necesito demostrar que $M/K$ ( $H$ -invariante) es generada por $x=\sum_{h\in H}ha$ . Lo único que había conseguido averiguar es que una de las bases de $M/K$ es $\{\sum_{h\in Hg}ha\}$ y la subextensión generada por $x$ es $H$ -invariante, por lo que una de las maneras es demostrar que cada elemento de esta base se encuentra dentro de subextensión generada, pero no se siente como un hecho evidente.
Respuestas
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De acuerdo. Así que se da que $$\mathcal{B}=\{ga\mid g\in G\}$$ es un $K$ -base de $L$ . Y $$x=\sum_{h\in H} ha.$$
Intentemos identificar los elementos de $G$ que mantienen $x$ fijo. Más concretamente, afirmo que $gx=x$ sólo si $g\in H$ . De todos modos, los automorfismos respetan las sumas, así que $$ gx=\sum_{h\in H}(gh)a. $$
Supongamos en primer lugar que $g\in H$ . Entonces $gh$ oscila entre $H$ mientras que $h$ lo hace, así que $gx=x$ .
Supongamos entonces que $g\notin H$ . Por propiedades básicas de los cosets tenemos entonces $gH\cap H=\emptyset$ . Dado que $\mathcal{B}$ es linealmente independiente sobre $K$ esto implica que $gx\neq x$ .
De ello se deduce inmediatamente que $g\in G$ fijó los elementos de $K(x)$ puntualmente si y sólo si $g\in H$ . En otras palabras, $H$ es el subgrupo de $G$ la correspondencia de Galois asociada al campo intermedio $K(x)$ . Pero, la correspondencia de Galois es una biyección, por lo que $K(x)=\operatorname{Inv}(H)$ .
Si desea un $K$ -base de $M=K(x)$ se compone de las sumas $x_g:=\sum_{h\in H}hga$ con $g$ sobre un conjunto de representantes de los cosets $Hg$ . Todas estas sumas son puntos fijos de $H$ por lo que están en $M$ . Obviamente son linealmente independientes sobre $K$ y hay $[G:H]=[M:K]$ de ellos, por lo que forman una base.
user1952009
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81
¿Quieres decir que $L/K$ es una extensión de Galois, $\{ ga,g\in G\}$ es una base normal, $M$ es el subcampo de $L$ fijado por $H$ un subgrupo normal, entonces $\{ g\sum_{h\in H}ha,g\in G/H\}$ es una base normal de la extensión de Galois $M/K$ .
Esto se deduce de que $$M = Tr_{L/M}(L) = Tr_{L/M}(\sum_{g\in G} ga K)= \sum_{g\in G} (\sum_{h\in H} hg a)K=\sum_{g\in G} (\sum_{h\in H} gh a)K$$ donde el último paso es porque $gH=Hg$ .
Md. Abu Nafee Ibna Zahid
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117
Comprobemos los elementos fijos H en $K[G] \cong L/K$ (isomorfismo como $K[G]$ -está dada por la base normal). Serían elementos del tipo $k\sum_{h\in Hg}h$ porque sólo los cosets de $H$ son estables bajo $H$ multiplicaciones a la izquierda y $H$ actúa transitivamente sobre dichos cosets. Subespacio $K$ -linealmente generada por tales elementos tiene $K$ -dimensión $[G:H]$ .
Del hecho de que la cardinalidad de la órbita bajo las acciones del grupo de Galois es igual a la dimensión de la subextensión generada correspondiente se deduce que $dim \:K(x) = [G:H]$ porque todos $gH$ cosets son distintos y $ga$ forma un básico. En $x$ estructura es fácil ver que todos los poderes $x^n$ son $H$ -de ahí que se fije $K(x) \leq M$ . Del argumento de la dimensión se deduce que $K(x) = M$
