Es $R[x]/(x)$ un libre $R[x]$ ¿Módulo?

Question

Es $R[x]/(x)$ un libre $R[x]$ -¿Módulo?

Mi opinión es que sí, parece generado por {1+(x)}. ¿Es esto correcto?

Estoy un poco confundido ya que parece tener torsión ya que $x\cdot f(x)=0$ y los módulos libres no pueden tener torsión.

En segundo lugar, ¿cuál sería el rango de $R[x]\oplus R[x]/(x)$ como $R[x]$ -módulo. ¿Es el 2?

Gracias.

Answer 1

No, no es posible para ningún anillo $R$ .

La forma correcta de salvar la idea de "torsión" es señalar que todos los módulos libres no nulos son fieles (tienen aniquilador cero) pero un cociente de un anillo por un ideal no nulo $I$ es aniquilado por $I$ .

En realidad se puede ir aún más lejos para mostrar $(x)$ ni siquiera es proyectiva. Si lo fuera, la siguiente secuencia exacta se divide:

$$ 0\to (x)\to R[x]\to R[x]/(x)\to 0 $$

Entonces $R[x]=(x)\oplus N$ para algún submódulo $N$ de $R[x]$ . Entonces debe haber un idempotente $e\in R[x]$ tal que $eR[x]=(x)$ de modo que $e$ actúa como identidad izquierda en $(x)$ . Pero esto es imposible ya que $ex\neq e$ pase lo que pase $e$ es.

Answer 2

Se genera mediante $1+(x)$ pero no libremente: en efecto $$ x(1+(x))=0+(x) $$ y $x\ne0$ en $R[x]$ .

Para un elemento $m$ de una base en un $A$ -módulo $M$ la relación $am=0$ implica $a=0$ .

Por la misma idea, ningún módulo de la forma $A/I$ donde $I$ es un ideal no nulo de $A$ es libre, porque cada elemento de $A/I$ es aniquilado por cada elemento no nulo de $I$ .

Esto supone anillos conmutativos, pero cambiar a anillos no conmutativos es exactamente lo mismo.

Answer 3

No es una $R-$ porque el módulo $R-$ no es libre de torsión ya que $x$ es un elemento de $\operatorname{Tor}(M)$ pero cada módulo libre sólo tiene un elemento de torsión cero, por lo que es una contradicción.