¿Cómo hallar una ecuación paramétrica?

Question

Quiero encontrar una ecuación para una pista de carreras, para poder obtener la posición de un punto con respecto al tiempo. Digamos que tengo esta pista y aquí hay algunos puntos en ella:

¿Sería posible modelar una ecuación basada en estos puntos como lo hace la regresión y cómo? También soy nuevo en ecuaciones paramétricas e intenté buscar en Google algunos tutoriales de ecuaciones paramétricas pero no pude encontrar ninguno bueno, así que si conoces algún buen recurso de aprendizaje ¿podrías decírmelo? Gracias.

Answer 1

Al igual que para las funciones ordinarias, existen varios métodos de interpolación. El más sencillo (y burdo) es, por supuesto, el habitual Interpolación de Lagrange.

Si te dan una colección de puntos $\{(x_{i},y_{i}\}_{i=1}^{N}$ entonces debe elegir un parámetro adecuado (para lo que tiene flexibilidad). Una opción obvia es tomar $t\in[0,1]$ y asignar a cada nodo el mismo espaciado dentro del dominio de parámetros. También podrías ponderar el espaciado, cambiar el dominio de parámetros a algo más grande o más pequeño, etc. Lo que acabes haciendo dependerá de las necesidades del problema concreto.

En cualquier caso, después de elegir las especificaciones de los parámetros, se construyen los polinomios de interpolación de Lagrange para cada componente (por supuesto, esto se generaliza de forma obvia).

Entre las técnicas más sofisticadas se incluyen la interpolación en la que se especifican las derivadas (por ejemplo, interpolación cúbica de Hermite), el corte del dominio de parámetros en múltiples trozos y la construcción de splines (cúbicos, digamos), etc., etc. Por supuesto, el esfuerzo computacional aumenta drásticamente en este sentido, pero estas técnicas son necesarias en determinadas situaciones, sobre todo cuando se requiere una precisión extrema (por ejemplo, en infografía).

También puedes echar un vistazo a esto: http://en.wikipedia.org/wiki/B%C3%A9zier_curve