¿Se puede generar una secuencia de números naturales cuya densidad tenga una distribución dada?

Question

Supongamos que $\{ p_{k} \}$ es una colección de números reales con propiedades:

1) $p_k \in (0,1)$ $~~~~$ (es decir $0$ y $1$ no son valores permitidos)

2) $\sum_{k=1}^{\infty} p_k =1$

Un ejemplo de este tipo de colección es $p_k := \frac{6}{\pi^2 k^2}$ . Usted es libre elegir cualquiera de estas colecciones para responder a la siguiente pregunta:

¿Puedes generar una secuencia de números naturales $\{x_n\}$ con lo siguiente propiedad: $$ \lim_{N \rightarrow \infty}\frac{\#\{n \in [1,N]: x_n = k \}}{N} = p_k \qquad \forall k.$$

Mi criterio para "generar" una secuencia significa que realmente debería poder escribir un programa para generar estas $\{x_n\}$ . No busco un resultado existencial abstracto; lo ideal sería que el $x_n$ debe venir dada por una fórmula explícita.

Para aclarar mi pregunta, puede elija lo que elija $p_k$ que quieras a responder a mi pregunta, siempre que cumpla las condiciones $1)$ y $2)$ . Puede tomar como ejemplo concreto $p_k := \frac{6}{\pi^2 k^2}$ He dado, pero eso no es necesario. De nuevo, la única condición es que dado $k$ En realidad debería ser capaz de evaluar $p_k$ no debe ser algo que se dé indirectamente o que se demuestre teóricamente. Idealmente, $p_k$ debe ser una fórmula en términos de $k$ .

Answer 1

Permítanme proporcionar un algoritmo para arbitraria $\ (p_k)$ .

Sea $\ (p_k: k=1\ 2\ \ldots)\ $ sea una secuencia arbitraria de positivo números reales $\ p_k>0\ $ tal que $\ \sum_{k=1}^\infty p_k=1.\ $ Entonces defina $\ x_n\ $ como el menor número natural $\ x_n=k\ $ tal que:

$$\frac 1n\cdot \left|\{m<n:x_m=k\}\right|\ \ <\ \ p_k$$

(De hecho, se trata de un algoritmo y no de una fórmula cerrada).

OBSERVACIÓN   Esto funcionaría incluso para un supuesto un poco más general (más débil) $\ p_k\ge 0$ .

Answer 2

Sea $p_k = 1/2^k$ y $x_k = n$ si $k = 2^{n-1}(2m - 1)$ para algún número entero $m>0$ . Creo que esto funciona.

Answer 3

El ejemplo anterior de Bill J admite una simple generalización. Consideremos un número entero arbitrario $\ a>1.\ $ Sea

• $\ \forall_{k=1\ 2\ \dots}\ \ p_k := \frac{a-1}{a^k}$
• $\ \forall_{k\ n=1\ 2\ \ldots}\ \ \left(x_n:=k\quad\Leftarrow:\Rightarrow\quad a^{k-1}\, |\, n\not\equiv 0 \mod a^k\right)$

OBSERVACIÓN   El ejemplo anterior, incluido el de Bill J, es un caso especial de mi algoritmo general anterior.

Answer 4

Otro ejemplo es el siguiente:
Sea $p_k=\frac{1}{s_k}$ donde $s_k$ denota el $k$ -término de la Secuencia Silvestre .

Es bien sabido que la suma de sus recíprocos converge a $1$ y, por supuesto $p_k=\frac{1}{s_k}\in (0,1)$