¿Es un anillo local Artiniano, si el ideal maximal es nilpotente?

Question

Esta respuesta sugiere la idea, de que un anillo local $(R, \mathfrak{m})$ cuyo ideal maximal es nilpotente es, de hecho, un anillo artiniano.

¿Es cierto? Si es así, ¿cómo se demuestra?

Answer 1

Necesitas que $R$ es noetheriano, de lo contrario hay contraejemplos.

Por ejemplo $R = K[x_i]_{i \in \mathbb{N}}/(x_i | i \in \mathbb{N})^2$ .

Si $R$ es noetheriano, se trata de un caso especial de Lemma 10.59.4 aquí que establece que un anillo noetheriano de dimensión $0$ es Artiniano.

Answer 2

Existe una versión de este teorema incluso para anillos no conmutativos. Se denomina Teorema de Hopkins-Levitzki .

Dice, en pocas palabras, que si $R/J(R)$ es semisimple y $J(R)$ es nilpotente, entonces $R$ es artiniano derecho si es noetheriano derecho. El suyo es un caso especial en el que $R/J(R)$ es un campo.

Aquí está el Búsqueda DaRT que actualmente da dos ejemplos de anillos locales no artinianos con radicales de Jacobson nilpotentes.