Hallar todos los ideales primos de $\mathbb{Z} / n\mathbb{Z} \ [x]$

Question

Sea $n=p_1^{r_1}p_2^{r_2}\ldots p_k^{r_k}$ sea un número entero con $p_i$ siendo sus factores primos. Hallar todos los ideales primos de $\mathbb{Z} / n\mathbb{Z} \ [x]$ que contiene polinomios mónicos de grado uno.

No sé cómo enfocar esta pregunta.

Agradeceremos cualquier ayuda.
Gracias.

Answer 1

Básicamente, el problema se resuelve utilizando el Teorema de Correspondencia. En aras de la notación, denotaré $\mathbb{Z}_n:=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ y $A:=\mathbb{Z}_n[x]$ .

Sea $q(x):=x-\bar{a} \in A$ sea un polinomio mónico arbitrario de grado uno. Por el Teorema de Correspondencias, existe una biyección entre los ideales primos de $A$ que contiene $q(x)$ y los ideales primos de $A/\big(q(x)\big)$ .

Ahora, si consideramos el homomorfismo de evaluación $\phi: A \longrightarrow \mathbb{Z}_n$ dado por $$\phi\big(f(x)\big):=f(\bar{a}),$$ obtenemos que $\text{Ker }\phi=\big(q(x)\big)$ y $\text{Im }\phi=\mathbb{Z}_n$ . Por el Primer Teorema del Isomorfismo, se deduce que $$A/\big(q(x)\big) \simeq \mathbb{Z}_n.$$

Por lo tanto, el problema se reduce a encontrar los ideales primos de $\mathbb{Z}_n$ . A su vez, por el Teorema de Correspondencia, están en biyección con los ideales primos de $\mathbb{Z}$ que contiene $n$ . Desde $\mathbb{Z}$ es un EPI, sus ideales primos son los generados por sus elementos primos (números primos, en efecto). Por lo tanto, los ideales primos de $\mathbb{Z}$ que contiene $n$ son $$(p_1),\dots,(p_k).$$

Retrocediendo en nuestras correspondencias, obtenemos que los ideales primos de $A$ que contiene $q(x)$ son $$\big(p_1,q(x)\big),\dots,\big(p_k,q(x)\big).$$