¿Es cierto que por simple $C^*$ -es decir, que no tienen ideales de dos caras no triviales, ¿se sostiene que son necesariamente no conmutativas? ¿Por qué?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Esto es falso. $\mathbb C$ es conmutativa y simple.
Pero esta es la única conmutativa simple $C^*$ -álgebra. Esto se debe a que si $A$ no es isomorfo a $\mathbb C$ entonces tiene un elemento distinto de cero y no invertible $x$ por el teorema de Gelfand-Mazur. Si $A$ también es conmutativa, entonces $Ax$ es un ideal propio.
Studer
Puntos
1050
Desde otro punto de vista, un C conmutativo $^*$ -álgebra $A$ es isomorfo, mediante la transformada de Gelfand, a $C_0(X)$ para un espacio de Hausdorff localmente compacto $X$ . Si $X$ es un singleton, entonces $A=\mathbb C$ . En caso contrario, para $Y\subset X$ a continuación, establezca $$J=\{f\in C_0(X):\ f|_J=0\}$$ es un ideal cerrado de dos lados.
