El mayor valor propio de una matriz binaria con densidad específica

Question

Me gustaría encontrar el mayor valor propio de un $n \times n$ matriz binaria de densidad $p$ es decir, con $p n^{2}$ unos y $(1-p) n^{2}$ ceros. Cualquier idea o referencia es bienvenida.

Answer 1

Supongamos que el número deseado de $1$ 's es $m^2+r<(m+1)^2.$ Así que $m=\lfloor n\sqrt{p}\rfloor.$ Entonces un valor propio de $m$ se consigue poniendo $1$ en el extremo izquierdo $m$ posiciones de la parte superior $m$ filas y el resto donde sea. El vector propio es la transposición de la primera fila (que es lo mismo que lo siguiente $m-1$ filas. Esto parece lo óptimo o casi.

He aquí un argumento que no es riguroso, pero que tal vez podría serlo:

Sea $m$ ser el más $1$ en cualquier fila de la matriz $A$ (que podemos suponer que es la fila $1$ ) y $u_1=1$ la entrada más grande (en magnitud) de algún vector propio $\mathbf{u}$ con $A\mathbf{u}=\lambda \mathbf{u}.$ Vemos que $\lambda u_1=\lambda$ es la suma de algunos $u_i,$ como máximo $m$ de ellos, y ninguno de mayor magnitud que $1.$ Esto significa que $|\lambda| \leq m$ y obtener $\lambda=m$ requeriría que las entradas sumadas fueran también todas $1.$ Pero, para un vector propio, que requeriría que el correspondiente $m$ filas de la matriz también tenían cada una $m$ $1$ 's.