Pregunta en un homomorphism de un conjunto de G.

Question

Estoy teniendo dificultad para mostrar la da un mapa, decir $\phi(z)=z^k$, es surjective. Esta pregunta es de D & F sección 1.6 - #19

Vamos $G$ =$\{z \in \mathbb C|z^n=1 \text{ for some } n \in \mathbb Z^+\}$. Demostrar que para cualquier fijo entero $k>1$ el mapa de $G$ a definido a sí misma por $z \to z^k$ es un surjective homomorphism, pero no es un isomorfismo.

Para mostrar $\phi(z)=z^k$ es un homomorphism deje $z_a=e^\frac{2\pi ia}{n}$ $z_b=e^\frac{2\pi ib}{n}$ donde $a,b\in \mathbb Z^+$ $a\neq b$ $\phi(z_az_b)=(e^\frac{2\pi ia}{n}$$\cdot$$e^\frac{2\pi ib}{n}$)=$e^\frac{2\pi ik(a+b)}{n}$=$e^\frac{2\pi ika}{n}$$\cdot$$e^\frac{2\pi ikb}{n}$=$\phi(z_a)\phi(z_b)$.

Tenía lo que yo pensaba que era una prueba para $\phi$ surjective hasta que se me ocurrió este ejemplo concreto. Aquí está el ejemplo: Supongamos $z_a$ es una raíz de la unidad, a continuación, por lo que es una alimentación $z^t_a$. Mis pensamientos en $G$ son los que se compone de todas las potencias enteras de la "básica" raíces de la unidad, por un partiuclar $n$. Deje $n=3$$k=3$, $\phi(e^\frac{2t\pi ik_i}{3})=(e^\frac{2t\pi ik_i}{3})^3 =e^{2t\pi ik_i}= 1$ para cualquier entero $t\in \mathbb Z$ e integer $k_i$ tal que $0\leq$$k_i$$\leq$ $2$. Así tenemos $\phi[G]=\{1\}$, $\phi$ no es surjective en esta instancia.

Qué es lo que tengo mal entendido acerca de la pregunta? Hay errores garrafales que estoy haciendo? Es $n$ supone un valor particular y no cualquier valor entero?

Su ayuda es muy apreciada.

Answer 1

G = $\{e^{i2\pi\over n}: n\in \mathbb Z^{+}\}$ $g,h\in G, (gh)^{k} = g^{k}h^{k}$ así que esto es fácil de ver para un homomorphism.

Deje $g\in G$ ser dado por $e^{i2\pi \over m}$. A continuación,$w = e^{i2\pi \over mk} \in G$$w^{k} = e^{i2\pi \over m}$, por lo que g es surjective.

Este mapa no es inyectiva porque $e^{i2\pi}$ $e^{i2\pi \over k}$ ambos se correlacionan con 1.