problema de conversión de primal a dual

Question

Problema primario es: $$\min z = 4x_1-3x_2+5x_3$$

$$7x_1+6x_2+24x_3\le16$$

$$2x_1+5z_2+3x_3\le10$$

$$x_i\ge0$$ la solución óptima es: $(0,2,0), z = -6$

El doble problema es : $$ \max g = 16w_1+10w_2$$

$$7w_1+2w_2\le4$$

$$6w_1+5w_2\le-3$$

$$24w_1+3w_2\le5$$

$$w_1,w_2\le0$$ Obtengo la solución óptima $g=0$ lo cual es erróneo debido al teorema de dualidad, $z(opt)=g(opt)$ . ¿Qué tiene de malo? Gracias.

Answer 1

El programa lineal que das como dual es correcto. Sin embargo, la solución óptima no es $g=0$ sino más bien $g=-6$ en $(w_1,w_2)=\left(0,-\frac{3}{5}\right)$ .

Observe que $g=0$ no es una posibilidad porque si $g=0$ entonces tenemos $w_1=w_2=0$ que entonces no satisface la restricción $$6w_1+5w_2\le-3$$ También puede observarse que ésta es la única restricción no trivial en el programa dual: las demás restricciones se satisfacen simplemente mediante la función $w_1,w_2\le 0$ requisito.

Answer 2

Creo que esto te ayudará

MIN zx = x1 + 2 x2 sujeto a - 2 x1 - 4 x2 -160 x1 - x2 = 30 x1 10 y x1,x20

Dado que la 2ª restricción en el primal es la igualdad, la variable dual correspondiente y2 no tendrá restricciones de signo.

Dual es (Solución stpes de Dual por el método BigM)

MAX zy = - 160 y1 + 30 y2 + 10 y3 sujeto a - 2 y1 + y2 + y3 1 - 4 y1 - y2 2 y y1,y30;y2 sin restricción de signo