¿Cómo puede ser invariante el espacio de alcance?

Question

Se dice que:

Recordemos que si $T \in L(V)$ entonces el rango $\operatorname{range}(T)=\{T(v) \mid v\in V\}$ es invariante bajo $T$ . Esto puede verse fácilmente ya que si $u \in \operatorname{range}(T)$ entonces $T(u) \in \operatorname{range}(T)$ por la definición del subespacio $\operatorname{range}(T)$ .

Supongamos que tengo un vector en 3D como $(x,y,z)$ y una transformada lineal viene dada por: $$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Entonces $\operatorname{null}(T)$ es $\{(0,0,1)\}$ y $\operatorname{range}(T)$ es $\{(1,0,0), (0,1,0)\}$ .

Ahora según la cita si tomo " $u \in \operatorname{range}(T)$ " como $u = (1,0,0)$ entonces Tu debe estar en $\operatorname{range}(T)$ pero $Tu=(0,0,1)$ que no está en $\operatorname{range}(T)$ .

¿Qué me estoy perdiendo?

Answer 1

Ha cometido un error: la gama de $T$ es $\{(0,x,y)\mid x,y\in k\}$ a la que $(1,0,0)$ no pertenece.