No reflexividad de $B(\mathbb H)$

Question

¿Cómo se demuestra que el espacio $B(\mathbb H)$ de operadores acotados en un espacio de Hilbert de dimensión infinita (separable) es no ¿reflexivo?

Supongo que esto debería ir en la línea de la no reflexividad de $l_\infty$ pero no he podido encontrarlo escrito en ninguna parte.

Answer 1

Me parece una buena idea ampliar mi comentario a una respuesta.

En primer lugar, elija cualquier base ortonormal de $\mathbb{H}$ para que $B(\mathbb{H})$ puede identificarse con $B(\ell_2)$ . El subespacio de operadores diagonales es claramente isométrico a $\ell_{\infty}$ . Es una verdad general que si $Y$ es un subespacio cerrado de un espacio de Banach reflexivo $X$ entonces $Y$ es reflexivo en sí mismo; por ejemplo, su bola unitaria es débilmente compacta. Esto significa que $B(\mathbb{H})$ no puede ser reflexivo.

Otra vía, ya sugerida por Marc Palm es utilizar el hecho de que la reflexividad de $X$ es equivalente a la reflexividad de $X^{\ast}$ . Desde $(K(\ell_2))^{\ast\ast}$ (bidual del espacio de operadores compactos) es isométrico a $B(\ell_2)$ la reflexividad de $B(\ell_2)$ implicaría que $K(\ell_2)$ es isomorfo a $B(\ell_2)$ ; el espacio anterior es separable, por lo que no es posible.

Answer 2

El predual de $B(H)$ son los operadores de clase de traza. Es un resultado general que si $X$ no es isomorfo a $X^{**}$ a través de la incrustación canónica, también lo es $X^{*}$ no es isomorfo a $X^{***}$ a través de la incrustación canónica. Este último hecho es un ejercicio de Simon-Reed Mathematical Prinicple of Physics Vol 1.