Mapear un conjunto con la función $z^2$ en el plano complejo

Question

Tengo el siguiente conjunto:

$G=\{ z \in \mathbb{C} : \Im{(z)}>0, \Re{(z)}<0 \}$

$f(z) = z^2$

Necesito dibujar $ f(G) $ pero no obtengo una buena respuesta utilizando $ z=x+iy $ e intentar comprender el plano complejo con información sobre el plano cartesiano.

¿Cómo lo hago? Entiendo que G es el cuarto superior izquierdo del plano complejo y sé que la respuesta es el semiplano inferior pero necesito ver los pasos.

después tengo que escribir $ f(G) $ . También me gustaría verlo.

Pregunta complementaria:

Esta vez la función es $f(z) = log(z)$ y el conjunto es:

$G=\{ z \in \mathbb{C} : |z|>0, -\pi < arg(z) < \pi \}$

No intuyo lo que hace la función logarítmica con el conjunto dado así que agradecería un cálculo.

Answer 1

Podemos reescribir

$$G=\{z\in\Bbb{C},|z|\gt 0,\,{\pi\over 2}\lt\arg{z}\lt\pi\}$$

Elevar al cuadrado significa elevar al cuadrado el módulo y duplicar el argumento

Así que

$$f(G)=\{z\in\Bbb{C},|z|\gt 0,\,\pi\lt\arg{z}\lt 2\pi\}$$

Y así $f(G)$ es el semiplano inferior

Para el seguimiento, considere lo siguiente

$$\log{r\cdot e^{i\theta}}=\log{r}+i \theta$$

Esto significa que la imagen por logaritmo de $H$ el semiplano derecho es la franja horizontal $\{z\in\Bbb{C},-\pi\lt\operatorname{Im}{z}\lt\pi\}$