Función de densidad de probabilidad de $X/Y$ para variables aleatorias exponenciales independientes $X$ y $Y$

Question

Sea $X_1$ y $X_2$ sean variables aleatorias exponenciales independientes con parámetros $λ_1$ y $λ_2$ respectivamente. ¿Cuál es la densidad de probabilidad de $X_1/X_2$ ?

Traté de forma integral $-\infty$ a $+\infty$ pero parece que no puedo obtener resultados. Si se necesita algún otro método?

Answer 1

Sea $U=\frac{X_1}{X_2}$ que es positivo casi con seguridad, por lo que tomamos $u>0$ y definir :

$f(u)=P(U\leq u)=\int_{0}^{\infty}{\int_{0}^{\infty}{1_{0\leq \frac{x_1}{u} \leq x_2 }\lambda_1e^{-\lambda_1x_1}\lambda_2e^{-\lambda_2x_2}dx_1dx_2}}$

$=\int_{0}^{\infty}{\lambda_1e^{-\lambda_1x_1}dx_1\int_{\frac{x_1}{u}}^{\infty}{\lambda_2e^{-\lambda_2x_2}dx_1dx_2}}$

$=\int_{0}^{\infty}{\lambda_1e^{-\lambda_1x_1}e^{-\lambda_2\frac{x_1}{u}}dx_1}$

$=\int_{0}^{\infty}{\lambda_1e^{-(\lambda_1+\frac{\lambda_2}{u})x_1}dx_1}$ $=\frac{\lambda_1}{\lambda_1+\frac{\lambda_2}{u}}$

Finalmente , derivamos f y obtenemos la función de densidad definida como $f_U(u)=\frac{\lambda_1\lambda_2}{(\lambda_1u+\lambda_2)^2}$