Ahora introduzco el problema:
Supongamos $\mathbf{z} = (z_1, z_2,z_3)$ sea una variable normal trivariante. Quiero encontrar la matriz de covarianza de $\mathbf{z}$ . I ahora que la densidad de $(z_1, z_2)$ es una normal bivariante con vector media $(\mu_1, \mu_2)$ y la matriz de covarianza $$ \left( \begin{array}{cc} \sigma_1^2 & \sigma_1\sigma_2 \rho \\ \sigma_1\sigma_2 \rho & \sigma_2^2 \\ \end{array} \right) $$ y ahora que $z_3 | z_1, z_2 = \beta_0+\beta_1z_1+\beta_2 z_2+\epsilon$ donde $\epsilon \sim N(0, \sigma_3^2)$ y, a continuación, la distribución de $z_3 | z_1, z_2$ es normal con media $\beta_0+\beta_1z_1+\beta_2 z_2$ y varianza $\sigma_3^2$ .
Quiero encontrar la distribución de $z_1, z_2, z_3$ . Creo que es una normal trivariada con media $\mu_1, \mu_2, \beta_0$ y la matriz de covarianza $$ \left( \begin{array}{ccc} \sigma_1^2 & \sigma_1\sigma_2 \rho& \beta_1\sigma_1^2+\beta_2 \sigma_1\sigma_2 \rho \\ \sigma_1\sigma_2 \rho & \sigma_2^2 & \beta_1\sigma_1\sigma_2 \rho +\beta_2\sigma_2^2 \\ \beta_1\sigma_1^2+\beta_2 \sigma_1\sigma_2 \rho & \beta_1\sigma_1\sigma_2 \rho +\beta_2\sigma_2^2 & \beta_1^2\sigma_1^2+\beta_2^2\sigma_2^2+\sigma_3^2 \end{array} \right) $$
Creo que esto es correcto pero con $\sigma_1^2=0.4$ , $\sigma_2^2=1$ , $\sigma_3^2=0.4$ , $\rho=-0.1$ , $\beta_1=-2$ y $\beta_2 = 3$ la matriz no es definida positiva definida, es decir, si intento simular una variable normal trivariada en R obtengo el siguiente mensaje:
Error en chol.default(V):
el menor principal de orden 3 no es positivo definido
¿Dónde está el error?
