Superficie descrita por el gráfico y la desigualdad de formas

Question

Supongamos que $S,T$ son dos superficies descritas localmente por $(u,v,f_{1}(u,v))$ y $(u,v,f_{2}(u,v))$ donde $f_{i}$ son mapas de los espacios tangentes de $S$ a $\mathbb{R}$ (respectivamente de T). (aquí $f_{i}$ son las gráficas de las superficies $S$ y $T$ ).

Supongamos que $f_{1}(u,v) - f_{2}(u,v) \geq 0$ para cada $(u,v)$ en un barrio de $(0,0)$ . Sea $F_{1}$ y $F_{2}$ sean las segundas formas fundamentales de $S$ y $T$ respectivamente. Por qué $F_{1}(w) \geq F_{2} (w)$ para cada vector tangente $w$ ?

Supongo que esto tiene que ver con la teoría de Hessians pero no lo veo. (Ver ¿Por qué podemos pensar en la segunda forma fundamental como una matriz hessiana? )

Answer 1

Creo que te refieres a eso: Supongamos $f_1$ y $f_2$ alcanzan su mínimo en $(u,v)=(0,0)$ lo que implica que $\frac{\partial f_i}{\partial u}(0,0)=\frac{\partial f_i}{\partial v}(0,0)=0$ para $i=1,2$ .

Ahora la superficie $S$ está parametrizada por $\phi(u,v)=(u,v,f_{1}(u,v))$ y la superficie $T$ está parametrizada por $\psi(u,v)=(u,v,f_{2}(u,v))$ . Para la superficie $S$ tenemos $\phi_u(0,0)=(1,0,\frac{\partial f_1}{\partial u}(0,0))=(1,0,0)$ y $\phi_v(0,0)=(0,1,\frac{\partial f_1}{\partial v}(0,0))=(0,1,0)$ lo que implica que el vector unitario normal $n$ en $(0,0)$ viene dado por $n=(0,0,1).$ También, $\phi_{uu}=(0,0,\frac{\partial^2 f_1}{\partial u^2})$ , $\phi_{vv}=(0,0,\frac{\partial^2 f_1}{\partial v^2})$ y $\phi_{uv}=(0,0,\frac{\partial^2 f_1}{\partial v \partial u})$ . Esto implica que el coeficiente de la segunda forma fundamental viene dado por $$e=\phi_{uu}\cdot n=\frac{\partial^2 f_1}{\partial u^2}, f=\phi_{uv}\cdot n=\frac{\partial^2 f_1}{\partial v \partial u}, g=\phi_{vv}\cdot n=\frac{\partial^2 f_1}{\partial v^2}.$$ Es decir, la matriz que representa la segunda forma fundamental es la hessiana de $f_1$ .

Con la notación anterior, tomemos $S$ dada por $(u,v,u^2+v^2+1)$ y $T$ ser $(u,v,2u^2+2v^2)$ . Es decir, $f_1(u,v)=u^2+v^2+1$ y $f_2(u,v)=2u^2+2v^2$ . Tenga en cuenta que $f_1(u,v)=u^2+v^2+1\geq 2u^2+2v^2=f_2(u,v)$ cerca de $(0,0)$ y ambos tienen un mínimo en $(0,0)$ . Entonces, por el cálculo anterior, la segunda forma fundamental de $S$ es el hessiano de $f_1$ que viene dado por $$\frac{\partial^2f_1}{\partial u^2}\frac{\partial^2f_1}{\partial v^2}-(\frac{\partial^2f_1}{\partial u\partial v})^2=2\cdot 2=4.$$ Por otra parte, la segunda forma fundamental de $T$ es el hessiano de $f_2$ que viene dado por $$\frac{\partial^2f_2}{\partial u^2}\frac{\partial^2f_2}{\partial v^2}-(\frac{\partial^2f_2}{\partial u\partial v})^2=(4)(4)=16.$$