La raíz de una línea

Question

Bien, imaginemos que tenemos un segmento de línea finito desde el punto (a) hasta el punto (b) en $R^2$ . No estoy familiarizado con la terminología matemática de este tipo, pero permítanme decir que la línea con la que empezamos es la interpretación geométrica de $A^1$ . La interpretación geométrica de $A^2$ es un cuadrado de lados $A^1$ . Podríamos seguir diciendo que $ A^3$ es un cubo con aristas de longitud $ A^{1}$ otra vez.

Me pregunto cuál es la interpración geométrica de $ \sqrt[2]{A}=A^{1/2}$ se vería así. ¿Es una línea (recta)? ¿Se puede construir? Por supuesto, podríamos ampliar esta pregunta preguntándonos qué $A^{k} $ en el que $k \in \mathbb{R}$ o incluso $\mathbb{C}$ . En $k>2$ , $A^k$ probablemente ya no sea construible en una hoja de papel, pero aún se puede pensar en cómo estas construcciones de $A$ se "parecería".

Gracias de antemano,

Max Muller

P.D. Me doy cuenta de que ahora hago más de una pregunta, lo que indica que no sé mucho de esto (todavía) y que me gustaría saber más sobre este tema. ¿Debería ser una wiki comunitaria? Siéntete libre de modificar las Etiquetas, no sé cómo clasificar esta pregunta exactamente.

Answer 1

Desde el punto de vista de la topología, $\sqrt{\mathbb{R}}$ sería un espacio $Y$ tal que $Y x Y$ es homeomorfo a $\mathbb{R}$ . Un espacio así no puede existir como $Y$ sería conexo (como imagen de un espacio conexo) por lo tanto un singleton o un intervalo. Y un intervalo por un intervalo tiene no-puntos de corte (la eliminación de un punto de este tipo deja el espacio conectado), mientras que $\mathbb{R}$ no tiene. También se puede demostrar que ningún poder impar de $\mathbb{R}$ tiene esa raíz cuadrada, creo recordar.

Answer 2

Ésta es mi propuesta para la raíz cuadrada de un segmento de recta.

Es el conjunto de Cantor que se obtiene dividiendo repetidamente dividiendo los intervalos en cuatro, y quitando los dos trozos del medio. Cuando se toma el cuadrado cartesiano de ese espacio, se obtiene algo cuya proyección es exactamente un intervalo:

alt text http://www.staff.science.uu.nl/~henri105/drawing.pdf

Answer 3

Las respuestas anteriores parecen sugerir que existe un homomorfismo de este pequeño e interesante grupo lineal a $\mathbb{R}$ enviando el producto cartesiano a la multiplicación. Pero tenemos $A^1 \times A^2 =A^3$ cuando la respuesta que queremos es seguramente $A^2$ . El producto cartesiano es aditivo en las dimensiones, por lo que quizás, por ejemplo, André haya encontrado un valor para $ \frac12 A$ . Mi conjetura sobre cómo obtener una estructura multiplicativa sería $X*Y:=hom(X,Y)$ en alguna categoría adecuada, por ejemplo si $A^i=\mathbb{R}^i$ entonces los mapas lineales harían el trabajo. Pero ahora $\sqrt{\mathbb{R}}=[Y, hom(Y,Y)=\mathbb{R}] =\mathbb{R}$ y lo realmente divertido (y probablemente imposible) es encontrar ' $\sqrt{\mathbb{R}^2}$ '

[Edición: releo la pregunta- no me había dado cuenta de que eran poderes de $A$ - ¡pensaba que sólo era un índice! Bueno, lo dejaré aquí porque creo que es una reformulación interesante...].

Edit2: Un poco de un violín, pero usted puede hacer este trabajo en la categoría de $\mathbb{Q}$ Espacios vectoriales con $\mathbb{Q}$ -mapas lineales donde $\sqrt{\mathbb{Q}^2}=\mathbb{Q}[\sqrt{m}]$ para cualquier m no cuadrado y $\sqrt{\mathbb{Q}^n}=\mathbb{Q}[^n\sqrt{m},^n\sqrt{m}^2...]$ para cualquier potencia m no enésima, hemos perdido la oportunidad de fracciones y una raíz cúbica parece improbable, pero es una especie de ordenada ...