Acción de un grupo finito sobre un factor finito

Question

Pregunta: Sea $G$ sea un grupo finito y sea $P$ ser un $\rm II_1$ factor. Supongamos que $G$ actúa sobre $P$ de forma que se preserve la traza, de modo que el álgebra del producto cruzado $P \rtimes G$ es un factor. Es $G \curvearrowright^{\sigma} P$ ¿Exterior?

Motivación: En el ejemplo 2.3.3(b) del libro de Jones-Sunder se menciona que el resultado anterior es cierto. Sin embargo, no se da la prueba. He intentado demostrarlo yo mismo, pero me he atascado. Aquí está mi intento.

Intento: Supongamos que $G \curvearrowright^{\sigma} P$ no es exterior. Entonces existe $g \in G$ , $g \neq e$ tal que $\sigma_g$ es interior. Supongamos que $\sigma_g =id$ . Sea $v =\sum_{h \in G} u_h u_g u_{h^{-1}}$ . Entonces, es fácil verificar que $v $ se encuentra en el centro de $P \rtimes G$ y, por tanto, es un escalar. Ahora bien, sea $H=C_G(g)$ . Entonces, $v= \sum_{h \in H} u_g + \sum_{h \in G \setminus H} u_{hgh^{-1}}=c \in \mathbb C$ . Por lo tanto, $|H| + \sum_{h \in G \setminus H} u_{hgh^{-1}g^{-1}}=cu_{g^{-1}} $ . Tomando las trazas de ambos lados, obtenemos que $|H|=0$ que es una contradicción.

Intenté un truco similar cuando $\sigma_g=ad(u)$ para algún unitario $u \in P$ . Tomé $v= \sum_{h \in G} u_h u^{\ast}u_{gh^{-1}}$ . Puedo demostrar que $v $ se encuentra en el centro de $P \rtimes G$ y, por tanto, es un escalar. Sin embargo, me quedé atascado después de eso.

Answer 1

Creo que la afirmación de la pregunta es falsa. Se puede construir un contraejemplo de la siguiente manera. En primer lugar, supongamos en general que $G$ es un grupo abeliano finito de orden $n$ y que $\Omega : G \times G \to S^1$ es un bicarácter (es decir, un mapa que es multiplicativo en ambas variables). Definir la representación proyectiva $U : G \to U(\ell^2(G))$ por $$U(g)e_k = \overline{\Omega(g,k)} e_{gk}$$ donde $(e_k)_{k \in G}$ es la base ortonormal estándar de $G$ . Se comprueba que $$U(g) U(h) = \overline{\Omega(g,h)} U(gh)$$ para todos $g,h \in G$ . Identifique $\ell^2(G) \cong \mathbb{C}^n$ y que $P_0$ ser cualquier $II_1$ factor. Defina $P = M_n(\mathbb{C}) \otimes P_0$ y la acción $G \curvearrowright^\sigma P$ por $\sigma_g = \operatorname{Ad}(U(g) \otimes 1)$ . Entonces todo automorfismo $\sigma_g$ es interior por construcción.

Consideremos el álgebra de von Neumann de grupo trenzado $L_\Omega(G)$ generados por operadores unitarios canónicos $(v_g)_{g \in G}$ satisfaciendo $$v_g v_h = \Omega(g,h) v_{gh} \; .$$ Existe entonces un $*$ -isomorfismo $$\pi : P \rtimes_\sigma G \to P \otimes L_\Omega(G) : \pi(a u_g) = a(U(g) \otimes 1) \otimes v_g$$ para todos $a \in P$ y $g \in G$ .

Para producir un contraejemplo, basta ahora con dar un ejemplo en el que $L_\Omega(G) \cong M_n(\mathbb{C})$ . Esto ocurre, por ejemplo, cuando $\Gamma$ es un grupo abeliano finito y $G = \Gamma \times \widehat{\Gamma}$ con $$\Omega : G \times G \to S^1 : \Omega((g,\omega),(h,\eta)) = \omega(h) \; .$$ Definición de los operadores unitarios $W(g,\omega)$ en $\ell^2(\Gamma)$ por $$W(g,\omega)e_h = \omega(h) e_{gh} \; ,$$ se deduce que $$\theta : L_\Omega(G) \to B(\ell^2(\Gamma)) \cong M_n(\mathbb{C}) : \theta(v_{(g,\omega)}) = W(g,\omega)$$ es un $*$ -isomorfismo.

Así, por ejemplo, el grupo $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ admite una acción interna sobre $II_1$ factor tal que el producto cruzado es un factor.