¿Cuál es la tangente a esta ecuación en el origen?

Question

$$x(x^2 + y^2) = a(x^2 - y^2)$$

Estaba tratando de encontrar la ecuación de la tangente como $$(Y-0) = \frac{dy}{dx}(X - 0)$$ donde $$\frac{dy}{dx} = \frac{2ax-3x^2-y^2}{2(x+a)y}$$ Así que aquí poniendo los valores de $(x,y)$ como $(0,0)$ hace que la derivada no exista. Estoy atascado en este punto y no puedo seguir adelante.

Answer 1

La ecuación puede escribirse como $$x(x^2 + y^2)- a(x^2 - y^2)=0.$$ Es la ecuación de una curva algebraica que pasa por el origen. Se sabe que el conjunto de tangentes a una curva algebraica en el origen viene dado por la parte homogénea de menor grado total en la ecuación. Por lo tanto, esta curva tiene $2$ pasa por el origen si $a\ne 0$ y la ecuación (global) de las tangentes a cada una de estas ramas en el origen es $$x^2-y^2=(x-y)(x+y)=0. $$

Answer 2

Alternativamente, si se expresa en forma polar, la curva es

$$r\cos\theta=a\cos2\theta$$

La(s) tangente(s) en el polo vienen dadas por los valores de $\theta$ como $r\rightarrow0$

Por lo tanto $\theta=\pm\frac{\pi}{4}\implies y=\pm x$

Answer 3

(Esto es esencialmente lo mismo que la respuesta de Bernard, pero esperemos que proporcione alguna intuición).

En primer lugar, recordemos la norma $o$ "si nos interesan los límites en torno a $L$ y luego escribir " $o(f(x))$ "un término omitido $t(x)$ tal que $\lim_{x\to L}{\frac{t(x)}{f(x)}}=0$ ." (O, con menos precisión, "un término omitido mucho menor que $f(x)$ ".) En nuestro caso, nos interesarán los límites en torno a $0$ Así que $L=0$ .

Observemos ahora que la definición de la derivada (o equivalentemente, el teorema de Taylor) nos da una caracterización equivalente de las rectas tangentes:

La recta tangente al origen es $y=sx$ si la curva original es $y=sx+o(x)$ .

Suponiendo provisionalmente que existe una línea tangente para algún valor de $s$ podemos sustituir esta expresión por $y$ para obtener $$x(x^2+s^2x^2+o(x^2))=a(x^2-s^2x^2+o(x^2))$$ Ampliando, $$(1+s^2)x^3+o(x^3)=a(1-s^2)x^2+o(x^2)$$ Dividiendo por $x^2$ , $$(1+s^2)x+o(x)=a(1-s^2)+o(1)$$ Tomando el límite como $x\to0$ cualquier término que sea $o(1)$ , $\sim x$ o $o(x)$ desaparece. Así, $$0+0=a(1-s^2)+0$$ y podemos ver que las pendientes de tangencia son $s=\pm1$ .