Encontrar la expansión de Laurent para $\frac{1}{z^2-3z-4}$

Question

Encontrar la expansión de Laurent para $$\frac{1}{z^2-3z-4}$$ que converge para $1<|z|<3$

No consigo descifrar esta pregunta, así que agradeceré cualquier ayuda.

Answer 1

¿Te diste cuenta de que $z^2- 3z- 4= (z-4)(z+1)$ de modo que (fracciones parciales) $\frac{1}{z^2- 3z- 4}= \frac{A}{z- 4}+ \frac{B}{z+ 1}$ ? Multiplicando a ambos lados por $z^2- 3z- 4$ obtenemos $1= A(z+1)+ B(z- 4)$ para todo z. Tomando z= 4, 1= 5A por lo que A= 1/5. Tomando z= -1, 1= -5B por lo que B= -1/5.

Eso es, $\frac{1}{z^2- 3z- 4}= \frac{1}{5}\frac{1}{z- 4}- \frac{1}{5}\frac{1}{z+ 1}= \frac{1}{5}\frac{-1}{1- \frac{z}{4}}- \frac{1}{5}\frac{1}{1- (-z)}$ . Ahora, la "serie geométrica" $1+ r+ r^2+ \cdot\cdot\cdot= \frac{1}{1- r}$ así que $\frac{1}{z^2- 3z- 4}= -\frac{1}{5}\left(1+ \frac{z}{4}+ \frac{z^2}{16}+ \cdot\cdot\cdot\right)- \frac{1}{5}\left(1- z+ z^2- \cdot\cdot\cdot\right)$ . Ahora combina poderes similares.