Cambio de perímetro al desplazar un punto de un triángulo a lo largo de una circunferencia

Question

Me interesa el perímetro $P(\Delta')$ de una versión modificada de un triángulo $\Delta = (A,B,C)$ . Elegí el punto $B$ sea el punto que quiero desplazar hacia el interior (o en el límite) de $\Delta$ . Elegí una distancia $r<h$ donde $h$ es la altura del triángulo. $B$ puede desplazarse a un punto arbitrario $E$ que es de distancia $r$ a $B$ y pone dentro o en la frontera de $\Delta$ . Esto significa que $E$ también debe estar en el círculo de radio $r$ con el punto central $B$ . Denoto $\Delta'=(A,E,C)$ . ¿Cuál es el perímetro $P(\Delta')$ del nuevo triángulo dadas las longitudes de los lados originales, $r$ (y probablemente alguna representación de la longitud del arco a E)? ¿En qué intervalo $P(\Delta)-P(\Delta')$ ¿Mentir?

Adjunto una pequeña figura que visualiza ambos triángulos.

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Basándome en los comentarios, he añadido algunas anotaciones:

Suponiendo que $B=(0,0)$ entonces tenemos $E=(x,y)$ con $x=\lambda_A x_A + \lambda_C x_C$ y $y=\lambda_A y_A + \lambda_C y_C$ ( $\lambda_A+\lambda_C = 1$ ).

Esto nos da el siguiente conjunto de ecuaciones:

$$r=\sqrt{(0-x)^2 + (0-y)^2} = \sqrt{(\lambda_A x_A + \lambda_C x_C)^2 + (\lambda_A y_A + \lambda_C y_C)^2}$$ $$|AE| = \sqrt{(x-x_A)^2+(y-y_A)^2}$$ $$|CE| = \sqrt{(x-x_C)^2+(y-y_C)^2}$$

Además, tenemos: $$|AB| = \sqrt{x_A^2 + y_A^2}$$ $$|CB| = \sqrt{x_C^2 + y_C^2}$$

El cambio de perímetro es, de hecho, la diferencia $|AB|+ |CB| - |AE| - |CE|$ . Me gustaría demostrar que $r \leq |AB|+ |CB| - |AE| - |CE|$ . Lucho con la prueba porque todavía tengo seis variables $x_A,x_C,y_A,y_C,\lambda_A$ y $\lambda_C$ .

Fondo

Esta pregunta surge de un problema informático llamado corte/fresado de césped, en el que se te da una cuchilla (en mi caso una forma circular) y un Polígono a cubrir. Me di cuenta de que dado un recorrido por el cortador circular se puede cambiar el cortador de una forma circular con un radio $s$ a un cuadrado de lado $2s$ . Después, el recorrido puede acortarse un poco. Ya he probado una duración específica $r$ que puedo mover los puntos del recorrido "hacia dentro" para acortar el recorrido. Mi objetivo es averiguar cuánto se acorta el recorrido final cuando lo modifico. En mi ejemplo, $A-B-C$ forman parte de la gira y $B$ es un punto que puede desplazarse hacia el interior mediante $r$ a un punto $E$ . Mi recorrido será más tarde $A-E-C$ . Quiero averiguar cuánto se acorta el recorrido después de mi transformación y espero que se acorte al menos un $r$ .

Answer 1

(Ampliación de un comentario.)

Me gustaría demostrar que $$r \leq |AB|+|CB|−|AE|−|CE| \tag1$$

Sin condiciones adicionales, $(1)$ puede no ser cierto. Escribir el desigualdad como $$|AE|+|CE|\leq |AB|+|CB|-r \tag{1'}$$ nos lleva a considerar el lugar geométrico de los puntos $P$ que satisfagan la correspondiente igualdad : $$|AP|+|CP|=|AB|+|CB|-r \tag2$$ Se trata de una elipse con focos $A$ y $C$ con radio mayor $\frac12(|AB|+|CB|-r)$ . Esta elipse separa los puntos con un más grande suma de los que tienen un más pequeño suma. Los puntos descritos $E$ debe estar en el arco donde $\bigcirc B$ con radio $r$ se superpone a esta elipse; en función de $r$ Este arco puede o no incluir todos (¡o ninguno!) los puntos del arco que se solapan con el triángulo.

Por ejemplo, esta primera figura muestra una situación con puntos $E_-$ , $E_0$ , $E_+$ en $\bigcirc B$ y en el interior $\triangle ABC$ pero respectivamente dentro, sobre y fuera de la elipse:

Es decir, tenemos $$\begin{align} |AE_-|+|CE_-| < |AB|+|BC|-r \quad\to\quad r < |AB|+|BC|-|AE_-|-|CE_-|\\ |AE_0\;|+|CE_0\,| = |AB|+|BC|-r \quad\to\quad r = |AB|+|BC|-|AE_0\,|-|CE_0\;|\\ |AE_+|+|CE_+| > |AB|+|BC|-r \quad\to\quad r > |AB|+|BC|-|AE_+|-|CE_+| \end{align} \tag3$$ para que sólo $E_-$ y $E_0$ satisfacer $(1)$ .

Con las condiciones adecuadas, podemos tener una circunstancia en la que la superposición círculo-triángulo está contenida dentro de la elipse (que parece ser el caso OP prevé):

Por otra parte, podemos tener un caso en el que el círculo no se encuentra con la elipse en absoluto, por lo que todos los puntos del círculo se encuentran en el $E_+$ familia que no satisfacen $(1)$ :

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Para un triángulo determinado, el umbral $r$ -valores que mantienen el arco circular dentro de la elipse pueden determinarse intersecando el círculo con la elipse. Desgraciadamente, las intersecciones cónico-cónicas de este tipo conducen a ecuaciones cuárticas, que son muy complicado de resolver en general.

A menos que la OP proporcione limitaciones o contexto adicionales, esto es todo lo lejos que llegará esta investigación.

Answer 2

Esta respuesta aborda la cuestión del perímetro mínimo.

Utilizando una notación ligeramente diferente, tenemos a conocido $\triangle ABC$ y radio dado $r_a$ del círculo $\mathcal{A}(A,r_a)$ . El círculo se cruza con $AB$ , $AC$ en $D,\ E$ respectivamente. Para el punto $F$ a lo largo del arco interior $DE$ , y el punto $G=AF\cap BC$ , el perímetro mínimo de $\triangle FBC$ se consigue cuando $F$ es el punto tangencial, donde la elipse enfocada en $B,C$ toca el círculo $\mathcal{A}$ que también significa que $\angle GFB=\angle CFG=\theta$ .

Sea $|BF|=u,\ |CF|=v$ , $|BG|=at,\ |CG|=a(1-t)$ para algunos $t\in(0,1)$ .

A continuación, utilizando la regla del coseno para $\triangle ABG$ , Teorema de Stewart para $\triangle FBC$ y las propiedades de la bisectriz de $\angle CFB$ podemos expresar $t$ en términos de las longitudes laterales $a,b,c$ de $\triangle ABC$ y el radio $r_a$ como raíz del cuártico

\begin{align} q_4\,t^4+q_3\,t^3+q_2\,t^2+q_1\,t+q_0&=0 \tag{1}\label{1} , \end{align}

donde

\begin{align} q_4 &= (b^2-c^2)^2-4\,r_a^2\,a^2, \\ q_3 &= 4\,c^2\,(b^2-c^2)-4\,r_a^2\,(b^2-2\,a^2-c^2), \\ q_2 &= r_a^2\,(4\,b^2-8\,c^2-5\,a^2)+2\,c^2\,(3\,c^2-b^2), \\ q_1 &= r_a^2\,(a^2-b^2+5\,c^2)-4\,c^4, \\ q_0 &= c^2\,(c^2-r_a^2) \tag{2}\label{2} , \end{align} si los vértices $A,B,C$ en sentido antihorario.

Las raíces reales de \eqref {1} hay que comprobar cuál da el mínimo real.

En la imagen adjunta, tengo las cuatro raíces reales, dos de ellos eran mayores que $1$ se obtiene el perímetro mínimo, y, por desgracia, otro también estaba en un rango válido, pero el perímetro correspondiente no era mínimo.

También las líneas curvas rojas, verdes y azules, que se muestran en la imagen,
que emanan de los vértices $A,B$ y $C$ respectivamente, ilustran el lugar correspondiente de los puntos de perímetro mínimo para posibles valores de $r_a,\ r_b$ y $r_c$ para los círculos $\mathcal{A}(A,r_a)$ , $\mathcal{B}(B,r_b)$ y $\mathcal{C}(C,r_c)$ .

Naturalmente, si los ángulos de $\triangle ABC$ son inferiores a $120^\circ$ , todas estas curvas se cruzan en el Punto de Fermat-Torricelli $T$ que proporciona el mínimo de $|TA|+|TB|+|TC|$ .

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En cambio, es mucho más sencillo hallar el radio correspondiente $r_a$ dado algún $t\in(0,1)$ :

\begin{align} r_a &= \left| \frac{t^2 b^2-(1-t)^2\,c^2} {(1-2t)\sqrt{(c^2-a^2\,t)(1-t)+b^2\,t}} \right| . \end{align}

Tenga en cuenta que $t=\tfrac12$ es un caso especial (y más sencillo), que sólo debe coincidir con $b=c$ , y tal condición es mejor considerarla por separado.

Para $b=c$ la ecuación \eqref {1}

factores como

\begin{align} (1-2t)^2(b^4-r_a^2(b^2-a^2\,t\,(1-t))) &=0 , \end{align}

y la raíz propia es $t=\tfrac12$ , por lo que, para cualquier valor válido de $r_a$ , $G$ debe ser el punto medio de $BC$ , para obtener el perímetro mínimo de $\triangle FBC$ , como era de esperar para el isósceles $b=c$ caso.

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Edición 2

En realidad, el intervalo válido de $t$ sería un subconjunto de $(0,\tfrac12)$ ou $(\tfrac12,1)$ dependiendo de las longitudes laterales $b$ y $c$ .

Answer 3

Podemos encontrar el cambio de perímetro en función del parámetro $ \theta$

Sea el círculo centrado en (0,0) y de radio r.

Sean dos puntos de una recta vertical $ ( h,-p),(h,q) $

suma de longitudes de línea oblicua para $\theta_1,$ $ L1=$

$$ = \sqrt { r\cos \theta_1 -h)^2} + \sqrt{( r \sin \theta_1 +p)^2}$$ $$ + \sqrt { r\cos \theta_1 -h)^2} + \sqrt{( r \sin \theta_1-q)^2}$$ Para $\theta_2$ , $L_2=$ $$ = \sqrt { (r\cos \theta_2 -h)^2} + \sqrt{( r \sin \theta_2 +p)^2}$$ $$ + \sqrt { (r\cos \theta_2 -h)^2} + \sqrt{( r \sin \theta_2-q)^2}$$

El cambio de perímetro es la diferencia $ L_2- L_1$ donde $L_2$ par está marcado en rojo. Depende de dos $\theta_ s$ las constantes son $( h,p,q,r).$