Me interesa el perímetro P(Δ′) de una versión modificada de un triángulo Δ=(A,B,C) . Elegí el punto B sea el punto que quiero desplazar hacia el interior (o en el límite) de Δ . Elegí una distancia r<h donde h es la altura del triángulo. B puede desplazarse a un punto arbitrario E que es de distancia r a B y pone dentro o en la frontera de Δ . Esto significa que E también debe estar en el círculo de radio r con el punto central B . Denoto Δ′=(A,E,C) . ¿Cuál es el perímetro P(Δ′) del nuevo triángulo dadas las longitudes de los lados originales, r (y probablemente alguna representación de la longitud del arco a E)? ¿En qué intervalo P(Δ)−P(Δ′) ¿Mentir?
Adjunto una pequeña figura que visualiza ambos triángulos.
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Basándome en los comentarios, he añadido algunas anotaciones:
Suponiendo que B=(0,0) entonces tenemos E=(x,y) con x=λAxA+λCxC y y=λAyA+λCyC ( λA+λC=1 ).
Esto nos da el siguiente conjunto de ecuaciones:
r=√(0−x)2+(0−y)2=√(λAxA+λCxC)2+(λAyA+λCyC)2 |AE|=√(x−xA)2+(y−yA)2 |CE|=√(x−xC)2+(y−yC)2
Además, tenemos: |AB|=√x2A+y2A |CB|=√x2C+y2C
El cambio de perímetro es, de hecho, la diferencia |AB|+|CB|−|AE|−|CE| . Me gustaría demostrar que r≤|AB|+|CB|−|AE|−|CE| . Lucho con la prueba porque todavía tengo seis variables xA,xC,yA,yC,λA y λC .
Fondo
Esta pregunta surge de un problema informático llamado corte/fresado de césped, en el que se te da una cuchilla (en mi caso una forma circular) y un Polígono a cubrir. Me di cuenta de que dado un recorrido por el cortador circular se puede cambiar el cortador de una forma circular con un radio s a un cuadrado de lado 2s . Después, el recorrido puede acortarse un poco. Ya he probado una duración específica r que puedo mover los puntos del recorrido "hacia dentro" para acortar el recorrido. Mi objetivo es averiguar cuánto se acorta el recorrido final cuando lo modifico. En mi ejemplo, A−B−C forman parte de la gira y B es un punto que puede desplazarse hacia el interior mediante r a un punto E . Mi recorrido será más tarde A−E−C . Quiero averiguar cuánto se acorta el recorrido después de mi transformación y espero que se acorte al menos un r .