Valores P y significación estadística

Question

La media del resultado de una prueba regional es $525$ puntos con una desviación de $80$ .

A $90$ alumnos de la clase hicieron la prueba y obtuvieron una puntuación media de $535$ .

¿Es la puntuación media de la clase diferente de la puntuación media regional para una significación estadística de $0.05$ ?

Estoy intentando comprender el papel de la significación estadística y no consigo entender cómo es posible que estas medias no sean diferentes.

Answer 1

Debe especificar si está interesado en una prueba unilateral o bilateral. Supongamos que tomamos esta última, sabemos que el intervalo de confianza del 95% está aproximadamente comprendido entre $\mu \pm 2 \hat \sigma_{\bar x}$ si suponemos una distribución normal. Además, sabemos que $\hat\sigma_{\bar x} = \hat\sigma_{x}/\sqrt{n} = 80/\sqrt{90}\approx 8.43$ . Por lo tanto, el $2\sigma$ intervalo es $525 \pm 2\cdot 8.43 \approx [508.1, 541.8]$ . Dado que el valor encontrado $535$ se encuentra dentro de este intervalo, el resultado es no significativo a un valor del 5%.

Answer 2

La respuesta de @Semoi (+1) en términos de un intervalo de confianza del 95% es correcta enfoque para esta prueba de dos caras en el nivel del 5% (pero debe estar centrado en el clase media 535). Aquí muestro la prueba en lo que espero sea un formato familiar.

Tienes que pensar en $\mu = 525$ como media poblacional y $\sigma = 80$ como la desviación típica de la población (para la "región"). Hay que pensar en $\bar X = 535$ como la media de una muestra de tamaño $n = 90$ (esta clase) como explicado en el comentario de @NuclearHoagie.

"Diferente de" implica una alterativa de 2 caras para su prueba z. La estadística de la prueba es $z = \frac{535 - 525}{80/\sqrt{90}}= 1.18585.$ El valor P de dos caras es $$P(|Z| > 1.18585) = 0.2357 > 0.05 = 5\%,$$ donde $Z$ es normal estándar. Así que no rechazar $H_0:\mu = 525$ contra la alternativa de dos caras al nivel del 5%.

En R:

z = (535-525)/(80/sqrt(90));  z
[1] 1.185854
2*pnorm(-z)
[1] 0.2356799

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De una versión reciente del software estadístico Minitab (que dispone de un procedimiento de prueba z de una muestra para datos resumidos):

One-Sample Z 

Test of μ = 525 vs ≠ 525
The assumed standard deviation = 80

 N    Mean  SE Mean       95% CI          Z      P
90  535.00     8.43  (518.47, 551.53)  1.19  0.236

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A continuación se muestra una simulación de las medias de las clases a de mil clases de tamaño $n = 90.$ El resumen muestra promedios de clase tan pequeñas como 479 y tan grandes como 557. La mitad de las 1000 clases tenían puntuaciones entre 518 y 532. Así que una puntuación media de 535 en una clase de 90 alumnos no es sorprendente. [Una clase con una nota media de 555 sería sea sorprendente].

set.seed(2021)
a = replicate(1000, mean(rnorm(80, 525, 90)))
summary(a)
   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
  479.1   518.0   525.3   525.4   532.3   557.7 

A continuación se muestra un histograma de las medias de las 1000 clases simuladas. La línea vertical discontinua está en 535.