Confusión sobre la ruptura espontánea de simetría

Question

Consideremos un campo escalar complejo con la Lagrangiana $$\mathcal{L} = (\partial_{\mu} \bar{\phi})(\partial^{\mu} \phi) - V(\phi)$$ con potencial $$V(\phi) = \frac{1}{4}\lambda(\bar{\phi}\phi - \eta^2)^2$$ El modelo es invariante bajo $U(1)$ transformaciones de fase. Los mínimos del potencial se encuentran en el círculo $|\phi| = \eta$ por lo que el vacío se caracteriza por un valor de expectativa distinto de cero: $$\langle 0|\phi|0\rangle = \eta e^{i\theta}.$$

Aquí es donde radica mi confusión. El $U(1)$ transformación de fase cambiaría la fase del estado básico en $\theta + \alpha$ para alguna constante $\alpha$ . Si la simetría fuera aún manifiesta, entonces no habríamos encontrado esto y en su lugar habríamos vuelto a $\theta$ solo; por lo tanto, la simetría está rota. Sin embargo, las vacuolas de simetría rota con diferentes valores de $\theta$ son todos equivalentes. Entonces, ¿qué importa si se considera $\theta + \alpha$ frente a $\theta$ ya que seguramente los dos representan vacuas equivalentes. Si es así, ¿por qué la transformación de fase no es una simetría del vacío, si sólo sirve para trasladarme a una configuración equivalente? ¿Qué me falta?

Answer 1

Aunque esta pregunta ya ha sido respondida con éxito, sólo quería hacer hincapié en algunos puntos sobre la ruptura espontánea de simetría.

Cuando una simetría se "rompe espontáneamente", no es cierto que deje de ser una simetría de la teoría, como se suele insinuar en los libros de texto. De hecho, la simetría rota se sigue representando (anti)unitariamente en los estados.

La diferencia importante entre los escenarios rotos y no rotos es el espectro de estados. Cuando una simetría no está rota, existe un vacío único que es invariante con una torre de estados dada por la excitación del vacío.

Cuando se rompe una simetría, existen muchas torres de estados, cada una asociada a un vacío diferente que corresponde a una "orientación" diferente (en su caso una $\theta$ ). Si nos encontramos en una torre y aplicamos una transformación de simetría rota, saltamos a otra torre.

La simetría se llama rota porque, como dijo Quillo, cuando la teoría se realiza en la naturaleza, se elige una torre de estados. No vemos las otras torres y, por tanto, no hay forma de observar directamente la simetría (por supuesto, podemos hacerlo indirectamente a través de los bosones de goldstone).

Answer 2

En general, la ruptura espontánea de simetría es el fenómeno en el que un estado estable de un sistema (por ejemplo, el estado fundamental o un estado de equilibrio térmico) no es simétrico bajo una simetría de su Hamiltoniano, Lagrangiano o acción. Nótese la palabra "estable", es importante: significa que si dicho estado se perturba, entonces oscila alrededor de su configuración no perturbada.

Las configuraciones de las vacuolas son equivalentes desde el punto de vista energético, pero no son la misma configuración. Como estas configuraciones deben ser estables, no se "mezclan", es decir, no es fácil pasar de una a otra, sólo pueden oscilar (esto está relacionado con los "modos Goldstone").

Otro ejemplo que puede ser más fácil de visualizar: el Hamiltoniano de un grupo de partículas es (típicamente) invariante bajo traslaciones, pero el estado fundamental puede ser un cristal. En este caso, el estado básico sólo es invariante con un subgrupo de las traslaciones continuas, es decir, las traslaciones discretas que permite la estructura cristalina.

Además, todos los cristales con la misma estructura son equivalentes y se diferencian por una traslación continua (es decir, pueden superponerse). La cuestión es que, cuando el sistema se realiza en la naturaleza, sólo se "selecciona al azar" una configuración, y esta configuración no tiene la simetría completa: las pequeñas fluctuaciones térmicas o cuánticas que actúan sobre un sistema real que atraviesa un punto crítico deciden el destino del sistema y determinan qué rama de una bifurcación se toma.