Cómo comprobar si la serie $\sum_{n=0}^{\infty} \sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ es convergente

Question

¿o divergente?

He hecho algunas pruebas, pero no he conseguido descubrir si la serie es convergente o divergente...

$$\sum_{n=0}^{\infty} \sqrt{n+1}-\sqrt{n}$$

Gracias.

Answer 1

Sea $S_n$ sea la secuencia de sumas parciales: $$S_n = \sum_{k=0}^n \sqrt{k+1} - \sqrt{k}$$ Es fácil ver que $S_0 = 1$ y por telescopaje $$S_n = \sqrt{n+1}$$ Puesto que la convergencia de una serie se define a través de la convergencia de las sumas parciales y puesto que $S_n$ obviamente diverge, la serie también diverge.

Answer 2

En primer lugar, tenga en cuenta que

$$ a_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{1}{ \sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\sim_{n\to \infty} \frac{1}{2\sqrt{n}}=b_n $$

Ahora, utilice lo siguiente resultado y vea lo que obtiene.