Pregunta sobre la densidad de Q en R

Question

Así que estaba revisando una densidad que muestra que los números racionales son densos en los números reales. Si $0< a <b$ , con con $a,b$ números reales, entonces entendí por qué podemos elegir n tal que:

$$ \frac{1}{n} < a- b $$

y m tal que:

$$ m-1 \leq an < m $$

Las razones son bastante fáciles, así que no las expondré porque no me molestan en absoluto, mi pregunta no es sobre ellas. Así que, al elegir $m,n$ enteros, que satisfagan las dos desigualdades podemos demostrar que:

$$ a < \frac{m}{n} < b$$

Lo que prueba que podemos encontrar un número racional entre dos reales cualesquiera. Entonces podemos probar el caso en que $ a < 0 $

Mi pregunta es, ¿cómo se llega a la idea de elegir los n y m que satisfacen las propiedades anteriores? ¿Cómo se consigue la intuición necesaria para este tipo de prueba? Después de fijar $n,m$ , el álgebra es bastante fácil y nos lleva fácilmente a la conclusión. Pero de nuevo, ¿cómo se puede obtener tal inspiración para elegir $n,m$ ? Estoy de acuerdo en que con suficiente voluntad y conjeturas se pueden encontrar. Pero, ¿hay alguna razón más sutil que nos lleve a esta idea? ¿Me estoy perdiendo algo?

Answer 1

La idea (suponiendo que $a > 0$ ) es observar la secuencia de fracciones $\dfrac 1n, \dfrac 2n, \dfrac 3n, \dfrac 4n,\cdots$ e intentar demostrar que al menos uno de estos valores se encuentra entre $a$ y $b$ . El problema es que si $a$ y $b$ están demasiado cerca, entonces ambos $a$ y $b$ podría encontrarse entre dos términos adyacentes de la secuencia. Sin embargo, si $\dfrac 1n$ es lo suficientemente pequeño (menos de $b-a$ ) esto no puede ocurrir, es decir, si $\dfrac{m-1}{n} \le a$ pero $\dfrac mn > a$ entonces, de hecho $\dfrac mn < b$ .

Answer 2

Estoy interpretando tu pregunta como "¿cómo encuentra un matemático tal demostración?", y no como "¿cómo funciona intuitivamente esta demostración específica?". Creo que un buen enfoque para resolver esto, si no tienes ni idea, es al revés. Permíteme que intente explicarte cómo habría enfocado yo el problema:

Obviamente, dado $a,b\in \mathbb{R}$ queremos encontrar $\frac m n \in \mathbb{Q}$ con

$$a < \frac{m}{n} < b$$

Ahora experimentamos un poco. En cierto modo, se nos abren tres posibilidades:

1. primero encontrar m, luego fijar m y encontrar n
2. primero encontrar n, luego fijar n y encontrar m
3. de alguna manera encontrar a los dos al mismo tiempo

El enfoque número 3 parece más complicado, por lo que deberíamos examinar primero los otros dos enfoques. Enfoque número 1 para mí parece una especie de impar, ni siquiera sabría por dónde empezar a buscar así que estoy tratando de hacer el enfoque número 2 (Puede haber una cierta cantidad de intentos sin salida aquí, pero voy a omitirlos):

Ahora procedo de nuevo hacia atrás. Suponiendo que ya tengo n, entonces m es mi incógnita y debo intentar reformular el problema en

$$an < m < bn$$

para que lo desconocido se quede solo. Ahora la primera parte de esta desigualdad es fácil, tengo un número fijo $an$ así que sólo tengo que elegir $m$ como el siguiente número entero. Pero tengo que empezar a pensar, ¿qué pasa con $m < bn$ ? Necesito asegurarme de que realmente hay un entero entre $an$ y $bn$ . Pero todavía no he elegido $n$ ¿Qué pasa con eso?

Sé que habrá un entero entre $an$ y $bn$ si $an + 1 < bn$ . Pero entonces puedo resolver para $n$ y escribe

$$ 1 < bn - an \Leftrightarrow \frac{1}{n} < b-a$$

y sé que tal $n$ existe.

Ahora todo lo que necesito es escribir este argumento al revés y terminar con una prueba.

Hay una cosa que siempre debes tener en cuenta sobre las matemáticas: Las demostraciones rara vez se escriben de la misma forma en que se desarrollan. Al principio se sabe más o menos por dónde empezar (muchas de las condiciones de un teorema se ponen ahí cuando se ve que se necesitan en la demostración) y se sabe dónde se quiere acabar. A partir de ahí, se suele trabajar en todas las direcciones hacia delante y hacia atrás, a veces estableciendo algunos puntos intermedios o dividiendo el resultado en partes más pequeñas que se consideren más fáciles, cerrando poco a poco los huecos. Luego, cuando terminas, tienes algo que es bastante ilegible, así que lo pones en el orden correcto, eliminas algunas de las partes basura que nunca necesitaste e intentas escribirlo con precisión.

Muchos matemáticos son capaces de escribir directamente pruebas más pequeñas que acaban de pensar en el orden correcto, pero sólo habrán hecho lo mismo una y otra vez en su mente, al menos así es como suelo hacerlo yo. Sin embargo, hay que tener en cuenta que no existe una estrategia de demostración mágica que siempre te dé un resultado, sólo un conjunto de trucos que conoces y años de entrenamiento y la intuición desarrollada a partir de este entrenamiento. Puede haber algunos sabios, que sólo ven el resultado, pero realmente son una excepción.