Cómo calcular la media del cuadrado de la distancia entre dos puntos elegidos al azar del cuadrado unitario

Question

Tengo la siguiente pregunta de deberes:

Se eligen dos puntos al azar de un cuadrado unitario. Sea $D$ denotan el distancia entre los puntos. Calcular $ED^{2}$ .

Lo que probé:

Denote $X$ como primer punto elegido y $Y$ como segundo punto. Entonces $D=|Y-X|$ .

$F_{D}(r)=P(|Y-X|\leq r)$ es igual a la probabilidad de que $Y$ es en una bola cerrada de radio $r$ en torno a $X$ .

Incluso calcular el área de esta bola cerrada (la parte contenida en el cuadrado unitario) me resulta difícil. Además, aunque la calcule, ¿qué hago después? Quiero "sumar" todas las opciones de $X$ pero como estamos tratando con un caso continuo aquí parece que debería integrar la función que estoy obteniendo para el área - sobre todos los puntos $x$ en el cuadrado de la unidad.

Necesito ayuda con este ejercicio: ¿Estoy en el camino correcto? Si es así, ¿alguien puede sugerirme una forma de calcular esa área? (¿he entendido bien lo que tengo que hacer después de calcular el área?)

Agradecemos cualquier ayuda.

Answer 1

A falta de otra información, supongo que los puntos se distribuyen uniformemente en el cuadrado unitario. Sea $I=[0,1]$ . El espacio muestral es $\Omega =I^2 \times I^2$ y la medida es la medida de Lebesgue.

Entonces $D^2((x_1,y_1),(x_2,y_2)) = (x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2$ y tenemos (moliendo a través de las cuatro integrales, o dos si se tiene en cuenta la simetría) $E D^2 = \int_\Omega D^2 dm = \int_I \int_I \int_I \int_I ((x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2)dx_1 d y_1 dx_2 dy_2 = \frac{1}{3}$ .