Demuestra lo siguiente utilizando la desigualdad de Chebyshev y Markov.

Question

Supongamos que $X$ es una variable aleatoria con media $\mu$ y varianza $\sigma^2$ . Demuestre que $$P(|X-\mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}$$

Pregunta: Sé que el ejercicio quiere que use la desigualdad de Markov y la desigualdad de Chebyshev, pero no puedo llegar a la misma respuesta. Si alguien puede ayudarme, se lo agradeceré.

Gracias.

Answer 1

La desigualdad de Chebyshev es $$\mathbb{P}(|x - \mu| \geq a) \leq \frac{\sigma^2}{a^2}$$ Sustituyendo $$a = k\sigma $$ da la respuesta.

Answer 2

Gracias André, lo encontré.

Para cualquier acontecimiento $A$ , dejemos que $I_A$ sea la variable aleatoria indicadora de $A$ es decir $I_A$ es igual a $1$ si $A$ se produce y $0$ de lo contrario. Entonces $\newcommand{\E}{\operatorname{E}}$ \begin{align*} \Pr(|X-\mu| \geq k\sigma) &=\E(I_{|X-\mu| \geq k\sigma}) \\ &= \E\left(I_{\left(\frac{X-\mu}{k\sigma}\right)^2 \geq 1}\right) \\ &\leq \E\left(\left(\frac{X-\mu}{k\sigma}\right)^2\right) \\ &=\frac{1}{k^2} \cdot \frac{\E((X-\mu)^2)}{k\sigma} \\ &=\frac{1}{k^2}.\end{align*}