Supongamos que construimos la teoría de la medida sin el axioma de elección en el bolsillo. Como ya no tenemos que preocuparnos por los conjuntos no medibles (véase este hilo ), ¿hay alguna buena razón para definir una medida sobre un $\sigma$ -que no sea el conjunto de potencias? En caso negativo $\sigma$ -¿Siguen siendo útiles las álgebras? ¿O se utilizan en el análisis únicamente para evitar problemas de inconmensurabilidad?
Respuestas
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Did
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La no mensurabilidad no es un problema en sí, es decir, no es deseable a priori hacer mensurable cada subconjunto, aunque se pueda. De hecho, acondicionamiento (en álgebras sigma no triviales) es visto por algunos como el primera y principal herramienta distintiva utilizada en probabilidad. Un quiere para condicionar a las sigma-álgebras G que no son ni el conjunto completo de potencias ni la sigma-álgebra trivial, al igual que, en $L^2$ se quieren considerar proyecciones que no sean ni la identidad ni la media. Entonces, los subconjuntos que no están en la sigma-álgebra G están, aunque sea por un tiempo, incluso en finito espacios de probabilidad, no medibles.
jmans
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La respuesta es una mezcla de sí y no. $\sigma$ -Las álgebras sirven para definir la colección de conjuntos que usted desea para medir. En la teoría de la medida con AC se puede desear ingenuamente medir todos los subconjuntos (digamos de $\mathbb R$ ) pero eso es imposible y por lo tanto hay que considerar un $\sigma$ -estrictamente menor que $\mathcal P (X)$ . Sin embargo, si bien es cierto que en ausencia de AC puede darse el caso de que todos los subconjuntos de $\mathbb R$ son mensurables, no significa que necesariamente se desee una medida de este tipo. Por ejemplo, si se está interesado en la mensurabilidad de Borel, no se necesita la medida más general de Lebesgue, y mucho menos una medida en la que todos los subconjuntos sean mensurables.
Así que, como en todo, todo depende de lo que quieras hacer. Rara vez le interesa establecer una medida en el mayor número posible de lances. Lo que se quiere es que la medida mida justo lo que se necesita. El objetivo es adaptar la medida al propósito que se persigue y, si es lo más natural $\sigma$ -es estrictamente menor de lo que es realmente posible, que así sea. Esto puede verse como un caso del principio de Polya del derecha generalidad. No tiene sentido generalizar por generalizar.
