Prueba $A=\{ x \in \mathbb R \mid \exists \{ x_n \}_{n=1}^\infty \subset (0,1] \ s.t. \ \lim x_n=0, \lim f(x_n)=x \}$ está cerrado.

Question

Sea $f : (0, 1] \to \mathbb R$ continua.

Defina $A$ como $$A=\{ x \in \mathbb R \mid \exists \{ x_n \}_{n=1}^\infty \subset (0,1] \mathrm{\ s.t.} \lim_{n\to \infty} x_n=0, \lim_{n\to \infty}f(x_n)=x \}.$$

Entonces, demuestre que $A$ está cerrado.

Basta con demostrar $A \supset \overline A.$

Sea $a\in \overline A$ .

Desde $\overline A=\{ a \in \mathbb R \mid \exists \{ a_n \}_{n=1}^\infty \subset A \ s.t.\ \lim_{n\to \infty}a_n=a \ \mathrm{in}\ \mathbb R \},$ existe $\{a_n \}_{n=1}^\infty \subset A$ s.t. $\lim_{n\to \infty} a_n=a$ en $\mathbb R.$

Entonces, para todos $n \in \mathbb N,$ $a_n \in A$ es decir, existe $\{ b_m^{(n)} \}_{m=1}^\infty\subset (0,1]$ s.t. $\lim_{m\to \infty}b_m^{(n)}=0, \lim_{m\to \infty} f(b_m^{(n)})=a_n.$

Tengo que encontrar $\{x_k\}_{k=1}^\infty \subset (0,1]$ que confirma $a\in A.$

$\{ b_m^{(n)} \}_{m=1}^\infty\subset (0,1]$ parece ser útil, pero se define para cada $n$ , así que no puedo dejar simplemente $x_k=b_k^{(n)}$ .

¿Cómo debo definir $\{ x_k \}_{k=1}^\infty $ ?

Answer 1

Ya casi has llegado. Su secuencia real debe consistir en $b_m^{(n)}$ valores, sólo tienes que elegirlos correctamente. Lo que puedes hacer es lo siguiente. Primero, elige unos $\epsilon$ .

• Mira la secuencia $\{b_m^{(1)}\}_{m=1}^\infty$ . Sabes que su límite es $0$ y el límite de $f(b_m^{(1)})$ es $a$ . Por lo tanto, puede elegir algunos $m_1$ tal que $b_{m_1}^{(1)} < \frac12$ y $|f(b_{m_1}^{(1)}) - a| < \frac12$
• Mira la secuencia $\{b_m^{(2)}\}_{m=1}^\infty$ . Sabes que su límite es $0$ y el límite de $f(b_m^{(2)})$ es $a$ . Por lo tanto, puede elegir algunos $m_2$ tal que $b_{m_2}^{(2)} < \frac14$ y $|f(b_{m_2}^{(2)}) - a| < \frac14$

¿puede continuar desde aquí?

Answer 2

Tal vez algunos contexto sería interesante para los que navegan por aquí.

Tomemos una función arbitraria $f:\mathbb R\to \mathbb R$ . [Sí, olvídate de la continuidad que era una suposición tonta en el problema planteado].

Defina $C^+(f,x)$ el conjunto de todos los números $-\infty\leq r\leq +\infty$ para la que existe al menos una secuencia estrictamente decreciente $\{x_n\}$ convergiendo hacia $x$ con $f(x_n)\to r$ . Del mismo modo $C^-(f,x)$ el conjunto de todos los números $-\infty\leq r\leq +\infty$ para las que existe al menos una estrictamente aumentando secuencia $\{x_n\}$ convergiendo hacia $x$ con $f(x_n)\to r$ .

Se denominan (a menudo) conjuntos de conglomerados derecho e izquierdo para $f$ en el punto $x$ aunque algunos podrían llamarlos puntos límite.

En cualquier caso, los conjuntos $C^+(f,x)$ et $C^-(f,x)$ son siempre cerrado.

Si debe añadir la condición de que $f$ es continua excepto en $x$ entonces al menos añadir que, en ese caso, estos conjuntos son intervalos cerrados, no simplemente cerrados.

Para un poco de historia entretenida (espero que lo sea) cito la referencia [1] a continuación sobre la investigación de la familia Young en el Reino Unido durante las primeras décadas del siglo XX.

En [W 1908i] se da el siguiente teorema: si $f$ es una de una variable real, entonces para todos los valores de $x$ excepto quizás para un conjunto contable, $$\limsup_{h\to 0+} f(x + h) = \limsup_{h\to 0+} f(x - h) \text{ and } \liminf_{h\to 0+} f(x + h) = \liminf_{h\to 0+} f(x - h).$$ Dado que el teorema se anunció en la reunión de la Asociación Británica en Leicester en 1907, utilizaron referirse a él como el "teorema de Leicester". Al año siguiente, en el congreso de Roma de 1908 se mejoró a la afirmación de que para todos los valores de valores de $x$ exceptuando quizás para un conjunto contable todas las izquierdas y derecha son idénticos. Dicho en un lenguaje más moderno, este teorema (naturalmente llamado "teorema de Roma") afirma que en todos los conjuntos menos los conjuntos derecho e izquierdo de una función arbitraria son idénticos. arbitraria $f$ son idénticas: para una función real arbitraria $f$ , $$ C^-(f,x) = C^+(f,x)$$ excepto en un número contable de puntos $x$ .

Siguieron demostrando en [W 1907ii] que el valor $f(x)$ se encuentra en la conjuntos de conglomerados, exceptuando de nuevo los puntos contables, es decir $f(x)\in C^+(f,x) = C^-(f,x)$ . Temas similares, incluidos resultados análogos para funciones de varias variables, reaparecen en los trabajos posteriores [W 1910iii], [WG 1918i] y [W 1928iv], que es uno de sus últimos trabajos. (El conjunto excepcional en el caso de varias variables ya no será contable). Tenían no poco orgullo (justificado) de estas teoremas; por un lado son teoremas realmente interesantes que que hacen cierta una afirmación para una función completamente arbitraria y que son quizás las primeras afirmaciones de este tipo. Esto también inició un programa de investigación programa de búsqueda de resultados de "asimetría", es decir, resultados sobre la distinción entre izquierda y derecha en cuanto a límites y derivadas. Esta línea de investigación culminó en el teorema Denjoy-Young-Saks y que desde entonces ha generado docenas de investigaciones relacionadas.

REFERENCIAS:

[1] http://classicalrealanalysis.info/documents/BT-YoungsArticle.pdf

[2] Véase también la respuesta de Dave Renfro a un problema similar publicado en este foro: Punto de agrupación de una función en un punto