Tomar una secuencia de Cauchy $(u_m)_m $ en $H^2_{l_0}(I)$ . Por desigualdad de Poincaré dos veces, hay $C_1,C_0>0$ tal que $$C_0||u_m-u_m\|_{L^2} \leq C_1||u'_m-u'_m\|_{L^2} \leq ||u''_m-u''_m\|_{L^2} \quad \forall n,m \in \mathbb{N} $$
Porque $L^2(I)$ está completo hay un $w_0,w_1,w_2 \in L^2(I)$ tal que \begin{align} \|u_m''-w_2\|_{L^2} & \to 0 \\ \|u_m'-w_1\|_{L^2} & \to 0 \\ \|u_m-w_0\|_{L^2} & \to 0 \\ \end{align} Vamos a demostrar que $w''_0=w_2$ . \begin{align} \int_0^{l_0} w_0 v'' &= \int_0^{l_0} (w_0-u_m) v''+\int_0^{l_0} u_mv'' \\ & = \underbrace{\int_0^{l_0} (w_0-u_m)v''}_{\to 0 ~ \text{when} ~ m \to \infty } + \underbrace{ u_m(x)v'(x)-u'_m(x)v(x) |^{l_0}_{0}}_{0} +\int_0^{l_0} u''_mv \quad (\text{Integration by parts).} \\ & = \lim_m\int^{l_0}_0 u''_m v = \int^{l_0}_0 w_2 v \quad \forall v \in C^{\infty}_0(I)\end{align}
Por lo tanto, $w_0''=w_w.$
Obsérvese que la desigualdad de Poincare da $w_0'=w_1$ . Además, $\|u_m-w_0\|_{H^2}\to 0$ cuando $m \to \infty$ . Por lo tanto $w_0 \in H^2(I)$ . Ahora debemos comprobar las condiciones de contorno.
\begin{align} (w(x)v'(x)-w'(x)v(x)) |^{l_0}_{0} &= \int_{0}^{l_0} w''(x)v(x)-w(x)v''(x) \\ &= \lim_m \int_{0}^{l_0} u_m''(x)v(x)-u_m(x)v''(x) \\ &= \lim _m ~ (u_m(x)v'(x)-u_m'(x)v(x) )|^{l_0}_{0} \\ &= \lim_m (u_m(0) v'(0)-u_m'(0)v(0)) \quad \forall v \in H^2(I) \tag{*} \end{align} Porque $H^2(I)$ está integrado en $C^{1}(\bar I)$ . Puede seleccionar $v$ con $v(0)=v(0)=v'(0)=0$ y $v(l_0) \neq 0 $ . Por (*) resultados $w(0)v(l_0)=0$ En consecuencia $w(l_0)=0$ análogamente $w'(l_0)=0$ . Entonces, $w_0 \in H^2_{l_0}(I)$ . En otras palabras, $H^2_{l_0}(I)$ está cerrado.
