Encontrar dos soluciones linealmente independientes para un sistema lineal homogéneo

Question

Tengo dificultades para obtener la misma respuesta que la solución de un problema en un libro de texto.

La base del problema es encontrar dos soluciones linealmente independientes de un sistema lineal homogéneo de la forma: $$u - y = 0\\v +2y - 3z = 0\\ w - z =0\\ x+z=0 $$

MI SOLUCIÓN: Poniendo esto en una matriz aumentada parece que ya está en forma escalonada...

$$ \left[ \begin{array}{cccccc|c} 1&0&0&0&-1&0&0\\ 0&1&0&0&2&-3&0\\ 0&0&1&0&0&-1&0\\ 0&0&0&1&0&1&0 \end{array} \right] $$

con las variables libres y y z. $$y = s$$ y $$z=t$$ la solución general viene dada por

$$x_H = \begin{pmatrix} u \\ v \\ w \\ x \\ y \\ z \\ \end{pmatrix} = s\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix} $$

Sin embargo, la solución del libro da $$u = -1/2,\\ v= 1,\\ w=x=0,\\ y =-1/2,\\ z=0 $$ y $$u = 3/2,\\ v = 0,\\ w = 1,\\ x=-1,\\ y=3/2,\\ z= 1$$

Cualquier ayuda sobre dónde me he equivocado/malinterpretado el método sería muy apreciada. Actualmente estoy lejos de mis viejas notas sobre el tema y no he encontrado la solución en línea.

Saludos

Answer 1

Pista;

La forma reducida debería ser ( si ordenamos las columnas de izquierda a derecha x , y , z, v , u , w )

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{bmatrix}$$

¿Por qué? Intenta reducir esto.

Answer 2

La primera respuesta que dan es $-1/2$ veces tu primera respuesta. Tanto la tuya como la de ellos están perfectamente bien. Yo prefiero la tuya, sin fracciones y con menos signos menos.

La segunda respuesta dada es $3/2$ veces tu primer vector más tu segundo vector. Perfectamente correcto, como el tuyo.

Answer 3

Para el primer caso, considere $s = -\dfrac 12$ y $t = 0$ . Así tenemos que la primera solución es: $$x_1 = -\dfrac 12 \cdot \vec e_1 + 0 \cdot \vec e_2 .$$

Para el segundo caso, considere $s = \dfrac 32$ y $t = 1$ . Así, tenemos que la segunda solución es de la forma:

$$x_2 = \dfrac 32 \cdot \vec e_1 + 1 \cdot \vec e_2.$$

Estas soluciones son linealmente independientes debido a que:

$$\begin{vmatrix} -\dfrac 12 & 0 \\ \dfrac 32 & 1 \end{vmatrix} \neq 0$$

Básicamente, para tener dos soluciones linealmente independientes, se puede elegir cualquier $2-$ tuplas de la forma $(s_i,t_i),\ i = 1,2$ tal que el determinante $$\begin{vmatrix} s_1 & t_1 \\ s_2 & t_2 \end{vmatrix} \neq 0$$