Supongamos que tenemos una matriz A = \begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}
y quiero que se vea como $A^T$ = \begin{bmatrix}c&a\\d&b\end{bmatrix} ¿Puede hacerse mediante multiplicación de matrices? Algo así como una matriz T tal que $T*A = A^T$ .
Respuestas
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Jeanne Holm
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Si existiera tal $T$ tendríamos que $T = T \times I = I^T = I$ donde $I$ es la matriz de identidad. Pero entonces se seguiría que $A = I \times A = T \times A = A^T$ para todas las matrices $A$ es decir, que todas las matrices son sus propias transposiciones. Como esto no es cierto, concluimos que no puede haber tal $T$ como desee.
Usuario no registrado
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¿Por qué no? La respuesta la da implícitamente il maestro @ Qiaochu Yuan. Detrás hay un tensor; de hecho, la transposición es simplemente una permutación. Apilamos la matriz considerada $A$ fila por fila, en una columna: $\bar{A}=[a,b,c,d]^T$ y $\bar{A^T}=[a,c,b,d]^T$ . Así, el tensor $T$ s.t. $T\bar{A}=\bar{A^T}$ es $\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}$ . Por supuesto, podemos generalizar para cada $n$ .
Podemos felicitar a yujinred por su habilidad para calcular la transposición de un $2\times 2$ matriz.
Puedes intentar encontrarlo.
$$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X & Y \\ Z & T \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} $$
Por lo tanto, resolver el sistema de sistema asociado:
$$\begin{cases} aX + bZ = a \\ aY + bT = c\\ cX + dZ = b\\ cY + dT = d \end{cases} $$
Para encontrar $X, Y, Z, T$ .
